2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高一上学期10月考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西壮族自治区梧州市苍梧中学高一上学期10月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为

所以，

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．不存在，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定直接判断.

【详解】根据特称命题的否定，可得命题“，”的

否定是“，”.

故选：D

3．若，，则是的条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】利用充分性与必要性定义判断即可.

【详解】由题意可得

∴是的充分不必要条件

故选A

【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒ ”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆ ，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

4．函数的定义域是（    ）

A．[－1,1) B．[－1,1)∪(1,＋∞)

C．[－1,＋∞) D．(1,＋∞)

【答案】B

【分析】根据已知函数的性质有，即可求定义域范围

【详解】由函数知

，即有且

故，定义域为

故选：B

【点睛】本题考查了函数的性质，根据具体函数的解析式并依据其性质求定义域，属于简单题

5．下列函数在上最大值为3的是（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据初等函数的单调性，代入求得函数的最大值，即可曲解.

【详解】对于A中，函数在区间上为单调递减函数，当时，函数取得最大值，最大值为，符合题意；

对于B中，函数在区间上为单调递增函数，当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意；

对于C中，函数在区间上为单调递增函数，当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意；

对于D中，函数在区间上为单调递减函数，当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解函数的最值问题，其中解答中熟记初等函数的单调性是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题.

6．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化函数为分段函数，再根据各段函数式的特点即可判断作答.

【详解】依题意，原函数化为： ，其定义域为，

显然当时，图象是经过点的直线在y轴右侧部分，

当时，图象是是经过点的直线在y轴左侧部分，

根据一次函数图象知，符合条件的只有选项B.

故选：B.

7．若正实数a，b满足，则的最小值是（    ）

A．6 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】由，结合基本不等式求出最小值．

【详解】解：∵，∴.

又，∴，当且仅当，即时取等号，

∴.

故选：C.

8．关于的不等式的解集为，则实数的范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【答案】C

【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】若，则原不等式为，解得，不合乎题意；

若，由已知条件可得，解得.

综上所述，.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】由不等式的性质逐项判断即可得解.

【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；

对于B，若，则，故B正确；

对于C，若，则，所以，所以，故C错误；

对于D，，则，所以，故D正确.

故选：ABD.

10．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BC

【分析】根据同一函数的概念，判断函数的定义域与对应关系，即可得是否为同一函数.

【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，但是两个函数的对应关系不同，故不是同一函数；

对于B，的定义域为，的定义域为，且两个函数的对应关系相同，故是同一函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，且两个函数的对应关系相同，故是同一函数；

对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.

故选：BC.

11．已知函数，则（    ）

A．

B．

C．的最小值为

D．的图象与轴只有1个交点

【答案】AD

【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.

【详解】令，得，则，得，

故，，，A正确，B错误.

，所以在上单调递增，

，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确.

故选：AD

12．己知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列选项成立的是（    ）：

A． B．函数在上单调递增

C．函数在上单调递减 D．的解集为

【答案】AC

【分析】根据①判断出是偶函数，根据②判断出在上单调递增，结合奇偶性、单调性可判断ABC；再由可判断D.

【详解】因为，有，所以是偶函数，

，当时，都有，

所以在上单调递增，又是偶函数，

所以在上单调递减，故B错误，C正确；

所以，故A正确；

而， 所以当时， ，当或时，，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知集合，，若，则________.

【答案】

【解析】根据集合相等，列出方程求解，得出，从而可得出结果.

【详解】因为集合，，，所以

解得从而.

故答案为：.

14．已知幂函数的图象过点，则的值为____.

【答案】

【分析】设幂函数为，代入点，求得，进而即得.

【详解】设幂函数的解析式为，

因为幂函数的图象经过点，

可得，解得，即，

所以.

故答案为：.

15．若函数的定义域是，则函数的定义域是______；

【答案】

【分析】由题可得，解出不等式即可得出.

【详解】因为函数的定义域是，

所以在中，，解得，

所以的定义域是.

故答案为：.

16．已知函数f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【分析】根据条件，一是要使每一个区间上是单调函数，二是要使整体上是单调函数，从而建立不等式组即可求解.

【详解】因为f(x)是R上的增函数，所以

解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据集合交集与补集运算求解即可；

（2）由题知，进而解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：当时，，

所以或，

（2）解：因为，，

所以，解得，

所以实数m的取值范围

18．已知函数.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)2；

(2)或2

【分析】（1）根据的取值范围求出对应的函数值，再将函数值代入相应的解析式即可求得.

（2）对自变量分情况讨论，令函数值等于，求出对应的，再根据自变量的取值范围即可确定的值.

【详解】（1）

，

（2）

当时，，解得，不成立；

当时，，解得或，成立；

当时，，解得成立.

综上，的值为或2.

19．

(1)若不等式的解集是，求a，b.

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用和1是方程的两实数根求解；

（2）不等式可化为，令，解得，或，分、、讨论解不等式求解.

【详解】（1）因为不等式的解集是，

所以，且和1是方程的两实数根，

所以，，

解得；

（2）不等式可化为，

令，解得，或，

当即时，不等式的解集为或，

当即时，不等式的解集为或，

当即时，不等式的解集为.

综上所述，时，不等式的解集为或；

时，不等式的解集为或，

时，不等式的解集为.

20．已知是定义在R上的偶函数，当时，.

(1)求的值；

(2)画出简图；写出的单调递增区间和值域（只需写出结果，不要解答过程）；

(3)求在R上的解析式.

【答案】(1)f（1）＝1，f（2）＝0

(2)图像见解析，增区间是（1，0），（1，+∞）．值域是（1，+∞）．

(3)

【分析】（1）直接代入解析式可得f（1）的值，利用f（2）=f（2）求解即可；

（2）先判断当x≥0时图像的特征，结合对称性判断当x＜0时图像特征，进而画出图像，利用图像求单调增区间与值域；

（3）当x≥0时，f（x）＝x22x，当x＜0时，x＞0，结合奇偶性可得答案.

【详解】（1）当x≥0时，f（x）＝x22x，f（x）＝f（x），

∴f（1）＝1，f（2）＝f（2）＝0；

（2）∴当x≥0时，y＝x22x，抛物线开口向上，对称轴方程为x＝1，顶点坐标（1，1），

当y＝0时，x1＝0，x2＝2；

因为函数是偶函数，图像关于y轴对称，所以当x＜0时，抛物线开口向上，

对称轴方程为x＝1，顶点坐标（1，1），当y＝0时，x＝2．

由此能作出函数f（x）的图像如下：

结合图像，知f（x）的增区间是（1，0），（1，+∞）．

值域是（1，+∞）．

（3）∵y＝f（x）是定义在R上的偶函数，

当x≥0时，f（x）＝x22x，

当x＜0时，x＞0，

f（x）＝（x）22（x）＝x2+2x，

∴f（x）＝f（x）＝x2+2x，

∴f（x）．

21．中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元）．当年产量不足80台时，（万元），当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式．

（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

【答案】（1）；（2）当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．

【解析】（1）分别求和时函数的解析式可得答案；

（2）当时，，配方法求最值、；当时，

利用基本不等式求最值，然后再做比较.

【详解】（1）当时，，

当时，，

于是．

（2）由（1）可知当时，，

此时当时取得最大值为1300（万元），

当时，，

当且仅当即时取最大值为1500（万元），

综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知函数是上的奇函数，且.

(1)求实数m，n的值；

(2)判断函数在上的单调性，并给出证明.

(3)在（2）成立的条件下，若成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)，

(2)单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）由奇函数的定义建立方程组，求解即可；

（2）根据函数的单调性的定义可判断和证明；

（3）根据函数奇偶性将不等式转化为，然后再根据函数的定义域及单调性得到关于的不等式组，解不等式组即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）因为函数是上的奇函数，且，所以.

所以，所以，所以函数是奇函数，所以.

（2）在上单调递增.证明如下：

由(1)知，任取，则，

则.

，，，，

又，，，

在上单调递增.

（3）将不等式转化为，

由于为奇函数，所以得，

又因为在上是单调递增，

所以得，解得.

故实数的取值范围为.