2022-2023学年北京市石景山区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市石景山区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

2．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】移项化为标准形式可解得结果.

【详解】由得，

得，得，得，

所以不等式的解集为.

故选：A

3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．

【解析】概率问题

4．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.

【详解】函数，与，

答案A没有幂函数图像，

答案B.中，中，不符合，

答案C中，中，不符合，

答案D中，中，符合，故选D.

【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.

5．已知，，都是实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.

【详解】当时，若时不成立；

当时，则必有成立，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．若a＞b＞0，0＜c＜1，则

A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc  D．ca＞cb

【答案】B

【详解】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.

【解析】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

7．已知函数，则的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用导函数研究单调性即可确定零点个数.

【详解】的定义域为，

由题意可得，

因为单调递增且当时，当时，

所以存在唯一一点使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，

又因为，，所以有2个零点，

故选：C

8．甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是（    ）

A．甲的10次成绩的极差为4 B．甲的10次成绩的分位数为8

C．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D．乙比甲的成绩更稳定

【答案】B

【分析】根据题意，计算极差、分位数、平均数和方差，再逐一判断即可．

【详解】解：对于A，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，极差为，故A正确；

对于B，甲的10次成绩从小到大依次为6，7，7，7，8，8，8，9，10，10，

，甲的10次成绩的分位数为第8个数是9，故B错误；

对于C，甲的10次成绩的平均数为，乙的10次成绩的平均数为8，

甲和乙的20次成绩的平均数为，故C正确；

对于D，甲的方差为，乙的方差为0.4，，乙比甲的成绩更稳定，故D正确．

故选：B．

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

10．设是定义在上的函数，若存在两不等实数，使得，则称函数具有性质，那么以下函数：

①；②；③；④中，不具有性质的函数为

A．①. B．②. C．③. D．④.

【答案】B

【详解】具有性质的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中一个是另外两个交点的中点.画图可知①、③、④都是具有性质的函数，②不具备有三个交点，②是不具有性质的函数, 选B.

二、填空题

11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________

【答案】12

【分析】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，从而求得结果.

【详解】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，所以抽取男运动员的人数为.

【点睛】本题考查简单随机抽样分层抽样，属于基础题.

12．函数的定义域为______.

【答案】

【解析】根据函数解析式，列出不等式组求解即可.

【详解】因为函数，

所以解得，

所以函数定义域为，

故答案为：

13．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是_________.

【答案】

【分析】先计算出的频率，然后用乘以这个频率得出所求的人数.

【详解】由图象可知，的频率之和为，故所求人数为人.

【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图求频率以及频数，考查阅读和理解能力，属于基础题.

14．设函数，若，则实数a可以为______.（只需写出满足题意的一个数值即可）

【答案】0（答案不唯一，满足即可）

【分析】分、、三种情况讨论，验证是否成立，综合可得出实数的取值范围，即可得出合适的答案

【详解】若，则，，成立；

若，则，，成立；

若，则，，不成立.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：0（答案不唯一，满足即可）

15．设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.

①集合为幸运集；②集合为幸运集；

③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；

其中正确结论的序号是________

【答案】②④

【解析】①取判断；②设判断；③举例判断；④由可以相同判断；

【详解】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；

②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；

③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；

④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；

故答案为：②④

【点睛】关键点点睛：读懂新定义的含义，结合“给定的（可以相同），都有，，”，灵活运用举例法.

三、解答题

16．已知全集，若集合，.

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求出集合，直接进行补集和并集运算即可求解；

（2）由题意可得：，列出满足的不等关系即可求解.

【详解】（1）

（2）

，

17．有这样一道利用基本不等式求最值的题：

已知且求的最小值.

小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.

小明的解法：由于所以

而那么则最小值为

小华的解法：由于所以

而则最小值为

（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？

（2）请说明你判断的理由.

【答案】（1）小华的解法正确；小明的解法错误；（2）理由见解析.

【分析】（1）小华的解法正确；小明的解法错误；

（2）根据等号成立的条件判断.

【详解】（1）小华的解法正确；小明的解法错误

（2）在小明的解法中，，等号成立时；

，等号成立时，

那么取得最小值时，，

这与已知条件是相矛盾的.

在小华的解法中，，等号成立的条件为，即，

再由已知条件，即可解得满足条件的的值，都是合理的.

18．某质检机构检测某产品的质量是否合格，在甲､乙两厂匀速运行的自动包装传送带上每隔10分钟抽一包产品，称其质量（单位：克），分别记录抽查数据，获得质量数据茎叶图（如图）.

(1)根据样本数据，求甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；

(2)若从甲厂6件样品中随机抽取两件，列举出所有可能的抽取结果；记它们的质量分别是a克，b克，求的概率.

【答案】(1)甲厂质量的平均数，甲的中位数是113；乙厂产品质量的平均数是，乙的中位数是113

(2)

【分析】（1）把甲、乙两组数据分别从小到大排序，即可计算得甲､乙两厂产品质量的平均数和中位数；

（2）列举出甲厂6件样品中随机抽取两件的所有可能的抽取结果，然后结合题意分析计算即可.

【详解】（1）甲厂质量的平均数，

甲的中位数是，

乙厂产品质量的平均数是，

乙的中位数是.

（2）从甲厂6件样品中随机抽两件，结果共有个，分别为：

，，

，

设“ ”为事件为A，由事件A共有5个结果：

，

∴的概率.

19．已知函数（为常数）是奇函数.

（1）求的值与函数的定义域.

（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.

【答案】（1），定义域为或；（2）.

【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；

（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.

【详解】（1）因为函数是奇函数，

所以，所以，

即，

所以，令，解得或，

所以函数的定义域为或；

（2），

当时，所以，所以.

因为，恒成立，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.

20．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的.

(1)求比赛恰进行两局就结束的概率；

(2)求这场比赛甲获胜的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）比赛两局就结束即甲连胜两局或乙连胜两局，分别求概率即可；

（2）分别比赛两局结束和比赛三局结束，分别求概率即可.

【详解】（1）比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能，

事件：甲胜乙，事件：乙胜甲.，，

.

（2）这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜.

，，

∴.