2022-2023学年广东省广州市第六中学高一上学期线上限时训练（问卷）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市第六中学高一上学期线上限时训练（问卷）数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市第六中学高一上学期线上限时训练（问卷）数学试题 一、单选题1．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　)A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅【答案】C【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得．【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，故选C．【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．2．函数f(x)=的零点所在的一个区间是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）【答案】B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则A． B．C． D．【答案】A【分析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选A【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题4．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，可排除AC，再代特殊值即可得出结果.【详解】由题意得，，，则函数为奇函数，排除AC；又，排除B.故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．设，若是的最小值，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二次函数的性质，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可．【详解】解：当时，，此时函数的最小值为，若，则，此时不是的最小值，此时不满足条件，若，则要使是的最小值，则满足，即，解得，，故选：C．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据不等式的基本性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．6．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】借助中间量和比较大小即可.【详解】解：由对数函数在单调递增的性质得：，由指数函数在单调递减的性质得：，由三角函数在上单调递增的性质得.所以.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量和，尤其在比较与的大小时，将变形得，进而与比较大小是重中之核心步骤.7．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即 所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.8．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C．（3,5］ D．（1,5]【答案】C【分析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，则，函数，又由对任意，都有，则，即周期为2，又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，又由，则满足且，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、多选题9．给出下列命题，其中是错误命题的是（    ）A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].B．函数的单调递减区间是C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.【答案】ABC【解析】对于A，由于的定义域为[0，2]，则由可求出的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，所以C错误；对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，故选：ABC10．如图是函数的部分图像，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：，，则，不妨令，当时，，，解得：，即函数的解析式为：，故A错误；又，故B正确；又，故C正确；而，故D错误；故选：BC.11．已知，，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果．【详解】解：因为，，且，所以所以，故A正确；对于B：，所以，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：，当且仅当时取等号；故错误．对于D：已知，，且，所以，则，当且仅当时取等号；故D正确．故选：ABD【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方12．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（    ）A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值【答案】BC【分析】由已知求出a的取值范围，应用a的范围对的单调性、最值作出判断【详解】函数在区间上有最小值，∴函数图像抛物线的对称轴应当位于区间内，∴有， ，在区间上，定义域不关于原点对称，不是奇函数.任取 ，，由，，有 ， ，则，即，所以在区间上为增函数，为函数最小值．故选：BC 三、填空题13．已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则取值范围________．【答案】【分析】根据题意，可得，由此能求出取值范围.【详解】在的偶函数在单调递减，，则由，得，即，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了基本运算能力，属于基础题.14．已知为锐角，若，则__________.【答案】##【分析】根据的范围和可确定，由同角三角函数关系可得，利用诱导公式化简所求式子即可得到结果.【详解】，，当时，，不合题意；，，.故答案为：.15．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意，由，且，求解即可.【详解】设的周期为T，因为，即，解得，由，解得，即在区间上单调递减，因为，显然k只能取0，所以且，解得.故答案为：.16．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作，规定和是同一对“优美点”．已知，则函数的图象上共存在“优美点”___________对．【答案】5【分析】根据题意，函数上的优美点的对数即为方程的解得个数，作出函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数上的优美点的对数即为方程的解得个数，作出函数与函数的图象，如图所示，当时，，可得两函数的图象共有5个公共点，即函数的图象上共存在“优美点”共5对．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及正弦函数与对数函数的图象的应用，着重考查数形结合思想，属于中档试题． 四、解答题17．已知.  (1)求的值       (2)求的值.【答案】（1）   （2）【分析】（1）由两边平方可得，利用同角关系；（2）由（1）可知从而.【详解】（1）∵.∴，即， （2）由（1）知＜0，又    ∴∴【点睛】本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和整体代入的思想，属于中档题．18．记函数的定义域、值域分别为集合A，B.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由对数函数的定义域和值域求得集合A，B.根据集合的交集运算可得答案； （2）由已知条件可得是的真子集，从而可求得的取值范围．【详解】（1）时，，由得，即，由得，∴；（2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，若，则由得，即，与（1）类似得，不合题意，若，则，即，满足题意，若，则，，，满足题意．综上的取值范围是．【点睛】本题考查对数函数的值域和定义域，以及集合间的交集运算，充分必要条件，属于基础题.19．已知函数的周期是.(1)求的单调递增区间，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求在上的最值及其对应的的值.【答案】(1)的单调递增区间为 ，对称轴方程为，对称中心坐标为(2)最小值为-2，对应的的值为0；最大值为1，对应的的的值为. 【分析】（1）先求得，进而得到函数解析式，由正弦型函数的性质，即可求得单调递增区间，对称轴方程，对称中心坐标；（2）依题意，，则 ，由此可得最值和最值点．【详解】（1）∵，由，则，∴ ， 由 ，解得   ，∴函数的单调递增区间为 .由 ，解得   ，∴函数的对称轴方程为 .由 ，解得   ，∴函数的对称中心坐标为（2）∵ ，得 ∴ ，∴ ，当即时，，当 即 时，.所以在上最小值为-2，对应的的值为0；最大值为1，对应的的的值为.20．已知定义在上的函数是奇函数.（1）求，的值；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意可得，求得，再由（1），求得，检验可得所求值；（2）运用参数分离和换元法、结合指数函数的单调性，以及反比例函数、一次函数的单调性，求得函数的值域，结合恒成立思想，可得所求范围．【详解】（1）由题意可得，解得，再由（1），得，解得，当，时，的定义域为，由，可得为奇函数，所以，；（2）由，得，因为，所以，所以．令，则，此时不等式可化为，记，因为当时，和均为减函数，所以为减函数，故，因为恒成立，所以．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.21．已知函数，.（1）若是方程的根，证明是方程的根；（2）设方程，的根分别是，求的值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】（1）因为是方程的根，即，将代入根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程，的根分别是，即方程，的根分别为，令，设方程，的根分别为，，结合（1）的结论及函数的单调性可求.【详解】（1）证明：因为是方程的根，所以，即，所以，是方程的根.（2）由题意知，方程，的根分别是，即方程，的根分别为，令，设方程，的根分别为，，由（1）知是方程的根，则是方程的根.令，则是的零点，又因为是上的增函数，所以，是的唯一零点，即是方程的唯一根.所以，所以，即，所以.【点睛】本题考查了函数的零点以及用单调性判断零点个数问题，是中档题.22．已知函数，当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的相关函数，（1）解关于的不等式；（2）对任意的的图像总在其相关函数图像的下方，求的取值范围；（3）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由对数函数的单调性，结合不等式得真数的取值范围，即求得不等式的解集；（2）先求出，题意转化为不等式对任意的恒成立，再求实数的取值范围即可；（3）利用方程脱掉对数符号，得到二次函数，再利用韦达定理得到，求得取值范围即可.【详解】解：（1）依题，则，所以所以原不等式的解集为；（2）由题意知，点在函数图像上，即，所以.即的相关函数为.依题意，对任意的，的图象总在其相关函数图象的下方，即当，恒成立①.首先由，知对任意的总成立，即对数式有意义.在此条件下，①等价于时，恒成立，即，即.设，要使时，恒成立，只需，即成立，解得，故，综上可知，的取值范围是；（3）由（2）知，首先由，知对任意的正数x总成立，即对数式有意义.故即，即有两个不相等的正实数根，则，，，即，对称轴是，故在上单调递减， 故.所以的取值范围为.【点睛】方法点睛：与对数函数有关的复合函数的性质（如最值）以及对数不等式的恒成立，解决这类问题，通常是“脱去对数符号”，把问题转化为二次函数在给定范围上的恒成立或分式函数的最值来讨论.