2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期12月考试数学试题（解析版）

2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期12月考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简集合A,B，根据补集、交集运算即可求解.

【详解】因为，，

所以，.

故选：A

2．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.

【详解】设只白兔为，只灰兔为，

则所有基本事件为：，，,,,,,,,,共有个，

其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共个，

所以所求事件的概率为：.

故选：A

3．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求.

【详解】当时，；当时，；

当时，；当时，；

所以，所以中所有元素之和为，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.

4．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.

【详解】对于①，当且时，

所以是任何数域的元素，①正确；

对于②，当时，且时，由数域定义知，

所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确；

对于③，当时，,故选项③错误；

对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.

故选：A

5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.

【详解】，

所以，

所以函数在单调递减，在单调递增，

所以==,

又,,

所以的值域为.

故选：B.

6．若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（    ）

A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

【答案】C

【分析】由题意，设点，则的坐标为，结合，转化为此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，从而作图解答

【详解】解：由题意，设点，则的坐标为，

因为，

所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，

作与的图像如图所示，

两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对

故选：C

【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题

7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,以下命题正确的个数是

下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论:

①对于任意的x∈R,都有f(f(x))=1;

②函数f(x)偶函数;

③函数f(x)的值域是{0,1};

④若T≠0且T为有理数,则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;

⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A,B,C,使得△ABC为等边角形.

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断.②分，两种情况，利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.④分，两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取 ， 判断.

【详解】①当时，，则；当时，，则，所以对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1;故正确.

②当时，，；当时，，，所以函数f(x)偶函数;故正确.

③当时，；当时，，所以函数f(x)的值域是{0，1};故正确.

④当时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=1=f(x)；当 时，因为T≠0且T为有理数，所以，则f(x+T)=0=f(x)，所以对任意的x∈R恒成立;故正确.

⑤取 ， 构成以为边长的等边三角形，故正确.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

8．设函数，若，则

A．3 B． C．或1 D．或1

【答案】B

【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解．

【详解】由题意，函数，且，

当时，即，解得；

当时，即，解得或（舍去），

综上可知的值为，故选B．

【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

9．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）

A．30 B．25 C．20 D．15

【答案】C

【详解】抽取比例为,

，

抽取数量为20,故选C.

10．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】借用0，1进行比较大小，简单判断即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：B

11．函数的定义域是（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.

【详解】由函数解析式，知：，

解之得：且，

故选：D

【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域，属于简单题.

12．设集合，若，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为，且易知a>0，所以b=0，所以a=1.

所以M={3，0}，N={1，0}，所以M∪N={3，0，1}.故选B．

【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数a>0，所以对于集合N中的元素就没有必要分a=0和b=0两种情况进行讨论，所以首先可以根据和交集的概念求出b的值，再求出a的值，最后求出M∪N，这样大大提高了解题效率.

二、填空题

13．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________．

【答案】（3，0）

【详解】若函数是幂函数，则，

则函数（其中，），

令，计算得出：，，

其图象过定点的坐标为．

14．设全集，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知，，若集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数为________.

【答案】4

【解析】由，集合表示的字符串为101001，得出表示的集合，进而求出集合B，从而得到答案.

【详解】由集合表示的字符串为101001，可知

而，，

则B可能为，，，，故满足条件的集合B的个数是4.

故答案为：4

【点睛】关键点点睛：本题以集合的新定义的形式，考查集合的运算和判断子集的个数问题，解题的关键是能将新定义的内容与已学的集合的内容联系起来，考查学生的分析解题能力，属于基础题.

15．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，． 若关于 的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．

【答案】

【解析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．

【详解】因为函数是定义在R上的偶函数且当时，，

所以函数图象关于轴对称，

作出函数的图象：

若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，

由图象可知：时，即有4个交点.

故m的取值范围是，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.

16．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是______．

【答案】

【分析】通过的解集可以确定与的关系以及，代入所求不等式，化简为，求解不等式得到结果.

【详解】由的解集是可知：和是方程的两根且

又        

【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，关键在于通过解集确定方程的根，属于基础题.

三、解答题

17．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）设函数，求在区间上的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出的值；

（2）令，则，再用替换可得出，利用加减消元法可解出，即可得出函数的解析式；

（3）由题意得出，然后分和，分析二次函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最大值的表达式.

【详解】（1）令，，得；

令，，得.

由，解得；

（2）令，则，所以，

由以上两式，解得，

即，所以；

（3）.

当，即时，此时，函数在区间上单调递增，

；

当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则.

综上，.

【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

18．已知函数是偶函数，且当时，(，且).

（1）求当时的的解析式；

（2）在①在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据函数为偶函数，当时，由即可求出；

（2）若选①，根据复合函数的单调性可知，，由此解出的范围，再根据指数函数在上单调递减，即可求出的取值范围；

若选②，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，

而与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求出．

【详解】（1）当时，，又是偶函数，则，

即.

（2）选条件①的解析：由于在上单调递增，显然不合题意，

则，此时的取值范围是.

选条件②的解析：若，则，显然不合要求.

当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时即可．由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，而在上单调递增的，所以在上单调递减．

则，此时的取值范围是.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数型复合函数的单调性的应用，以及指数函数单调性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

知识点睛：复合函数的单调性一般遵循“同增异减”的原则，即内外函数在某区间上单调性一致，则此函数在该区间上单调递增，内外函数在某区间上单调性不一致，则此函数在该区间上单调递减．

19．已知函数．

(1)直接写出在上的单调区间无需证明；

(2)求在上的最大值；

(3)设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”已知，若是函数的“区间”，求的最大值．

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增

(2)答案见解析

(3)1

【分析】（1）根据p函数的函数性质即可求解；（2）对参数进行分类讨论即可求解；(3)对参数进行分类讨论即可求解.

【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题意知，若，则在 ，上单调递减，所以的最大值为 若，则在 ，上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为 若，则在上单调递减，在上单调递增，此时，所以的最大值为

综上，若，的最大值为

若，的最大值为．

（3）由知， 当时，在 ，上的取值范围为，在上的取值范围为因为，所以，满足，，使得，所以此时是的“区间”当时，在 ，上的值域为，在上的值域为因为当时，，所以，使得 ，即，，，所以此时不是的“区间”故所求的最大值为．

20．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的一些数据如下表所示：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，且．

(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少

【答案】(1)选择模型 ，

(2)

【分析】根据所给数据选择函数模型，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故可得解析式.

设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，根据二次函数的性质求出最值.

【详解】（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递增．

函数在上单调递减，所以不符合题意

函数中的，即定义域不可能为，也不符合题意

所以选择函数模型 ．

由已知数据得

解得

所以．

（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为．

由题意得 ，

因为，所以当时，有最小值．

所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为．

21．我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计 的区间，再计算区间 的频率和为0.85时，求解的值.

试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得

，

解得.

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为

，

由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

.

(Ⅲ) 前6组的频率之和为 ，

而前5组的频率之和为 ，

由 ，解得，

因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.