2022-2023学年河北保定第一中学高一贯通创新实验班上学期期末数学试题（解析版）

保定一中2022级贯通创新实验班期末检测

数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，每题3分，共48分）

1. 下列判断正确的是（    ）

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的菱形是正方形

C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可

【详解】对于A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；

对于B，对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；

对于C，对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；

对于D，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；

故选：B

2. 已知，在中，，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由锐角三角函数定义可求.

【详解】因为为直角三角形，，

所以，

故选：A.

3. 已知，则下列结论一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用特例和比例的性质即可得出答案

【详解】满足，故ABC不正确

，

，故D正确

故选：D

4. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据从正前方看得到的图形是主视图，可得答案．

【详解】从正前方看，底层是一个长方形，长方形上面是一个圆．

故选：B．

5. 下列说法正确的是（    ）

A. 一个三角形只有一个外接圆 B. 三点确定一个圆

C. 长度相等的弧是等弧 D. 三角形的外心到三角形三条边的距离相等

【答案】A

【解析】

【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可

【详解】对于A，一个三角形只有一个外接圆，故A正确；

对于B，不在同一直线上的三点确定一个圆，故B错误；

对于C，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故C错误；

对于D，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故D错误；

故选：A

6. 某人从一袋黄豆中取出20粒染成蓝色后放回袋中并混合均匀，接着抓出100粒黄豆，数出其中有5粒蓝色的黄豆，则估计这袋黄豆约有（    ）

A. 380粒 B. 400粒 C. 420粒 D. 500粒

【答案】B

【解析】

【分析】用蓝色黄豆的数量除以所抽取样本中蓝色黄豆所占比例即可得

【详解】依题意得，估计这袋黄豆：（粒），

故选：B．

7. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的值可能是（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. -1

【答案】A

【解析】

【分析】依据反比例函数 ，当 时，随的增大而增大，即可得到，进而得出的取值．

【详解】解：反比例函数 ，当时，随的增大而增大,

∴，

∴，

∴可以取3，

故选：A．

8. 如图，在矩形ABCD中，，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据矩形边长和角度利用扇形面积公式即可求得结果.

【详解】由于，且所以

所以，

因此扇形BAE的面积.

故选：C

9. 天猫某店铺第2季度的总销售额为662万元，其中4月份的销售额是200万元，设5、6月份的平均增长率为x，求此平均增长率可列方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，分别求出5月份、6月份销售额，再根据第二季度总销售额为662万元即可列出方程.

【详解】由4月份销售额是200万元，5、6月份的平均增长率为x，

可得5月份销售额为，6月份的销售额，

再由第2季度的总销售额为662万元可列出方程为.

故选：C

10. 如图，已知平行四边形ABCD中，点E是DC边的中点，连接BD、BE、AE，AE交BD于点F，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得，则∽，可判断AC错误，根据条件无法说明B成立，由与同底等高，则可知D正确.

【详解】点是边的中点，，

由平行四边形ABCD知，，，

，∽，，，

即，故A错误；

由A知，，而由题意推不出，所以不成立，故B错误；

由∽可知，，即，故C错误；

与同底等高，，去掉公共部分，，故D正确.

故选：D

11. 定义为a，b，c中的最小值，例如：．如果，那么x的取值范围是（    ）

A.  B. 或 C.  D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】根据定义列不等式求x的取值范围.

【详解】因为，

所以，所以或，

故选：B.

12. 关于二次函数，则下列正确的是（    ）

A. 函数图象与x轴总有两个不同的交点

B. 若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则

C. 不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点

D. 当时，y随x的增大而增大，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D.

【详解】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误；

若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误；

若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误；

当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误.

故选：C

13. 如图，中，，截的三条边所截得弦长相等，则（    ）

A. 110° B. 115° C. 120° D. 125°

【答案】B

【解析】

【分析】过作于，于，于，连接，根据垂径定理和已知求出，根据勾股定理求出，可得点是△ABC的内心即可解决问题.

【详解】设圆O与△ABC的交点如图所示，过作于，于，于，连接，

由垂径定理得：，

，，，

所以由勾股定理得：，

，即到三角形ABC三边的距离相等，所以是△ABC的内心，

，.

故选：B

14. 正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，以下结论错误的是（    ）

A. 点A、B关于原点对称 B. k的值可以为

C. 若点，则的解集是或 D. 当k的值是1时，

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象的对称性判断A，由图象交点在一、三象限确定图象经过一、三象限判断B，根据所给交点分析不等式的解判断C，求出交点坐标根据两点间距离公式判断D.

【详解】因为正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，所以两图象的交点A、B关于原点对称，故A正确；

∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B ，反比例函数图象在

一、三象限，正比例函数经过一、三象限，，因此不能为，故B错误；

，点A、B关于原点对称，，当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，此时或，故C正确；

当时，，联立，解得或，，故D正确.

故选：B

15. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（    ）

A. 2.5 B.  C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，借助余弦定理得，进而可得到线段PM最大值.

【详解】由题意，

绕顶点C逆时针旋转得到，P是的中点，则

设,

则，

，

，

故选：C.

16. 如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN=EN，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出，根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④．

【详解】∵四边形ABCD为正方形，AB=BE，

∴，

∴，

∴，

∴DN=EN，故①结论正确；

∵是CE的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，故②结论正确；

作FG⊥AE于G，则FG=BG=GE，

∴，

∴，

∵，

∴∠CED=∠FAG，

∴，故③结论正确；

∵，

∴，

∴，

∴，

∵F是CE的中点，

∴，

∴，故④结论正确；

故选：D．

二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）

17. 如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则的度数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据正五边形的内角和求出每个内角，然后圆心角和圆周角的关系进行求解即可

【详解】连接

∵五边形是⊙O的内接正五边形，

∴，

∴

故答案为：

18. 已知线段，是AB的黄金分割点，且，则_____cm．

【答案】##

【解析】

【分析】根据黄金分割点的定义进行求解即可.

【详解】因为是AB的黄金分割点，

所以有，

故答案为：

19. 是等边三角形ABC的外接圆，若的半径为2，则的面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】利用正弦定理和三角形面积公式即可求解

【详解】因为是等边三角形ABC的外接圆，且的半径为2，

由正弦定理（其中为三角形外接圆的半径）可得，解得，

所以

故答案为：

20. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（n为常数）对称，则把该函数称之为“函数”．

（1）在下列关于x的函数中，是“函数”的是__________．（填序号）

①；②；③．

（2）若关于x的函数（h为常数）是“函数”，与（m为常数，）相交于两点，A在B的左边，，则________．

【答案】    ①. ②③    ②. 4

【解析】

【分析】根据“函数”的定义即可结合函数的对称性即可判断，根据轴对称以及反比例函数的性质即可求解点的坐标，进而可求解.

【详解】根据“函数”的定义可知，若函数的图象关于轴对称，则一定是“函数”，由于是偶函数，图象关于轴对称，故是“函数”， 图象关于对称，故是“函数”，根据反比例函数的性质可知的图象上不存在关于对称的点，故不是“函数”，因此②③为“函数”.

函数（h为常数）是“函数”,所以，

如图，与交与点,与轴交于点,作轴交于点,轴交于点,所以, , ,所以,

设

，且B,A分别在上所以,

故，所以，

故答案为: ②③,4

三、解答题（本大题共6小题，共60分）

21. 计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】根据特殊角的三角函数值及指数的运算性质求解即可.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

.

22. 2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好

（1）小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B（冰墩墩）概率是_________（直接写出结果）

（2）小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可；

（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B和C的情况，用概率公式求解即可

【小问1详解】

由题意可知，共有四种等可能的情况，

∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是；

【小问2详解】

根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．

∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．

23. 如图，在中，，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且．

（1）判断直线BD与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求BD的长．

【答案】（1）相切，证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据以及可得，，即可证明直线BD与相切；（2）利用三角形相根据相似比即可求得.

小问1详解】

直线BD与相切，证明如下：

连接，如下图所示：

易知，，又；

所以，因为，即

所以，

，即

所以直线BD与相切.

【小问2详解】

因为是直径，所以，

又，即

又，所以

所以，

由可得，

即BD的长为

24. 如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为．

（1）求点B距水平面AE的高度BH；

（2）求宣传牌CD的高度．（结果保留根号）

【答案】（1）2m    （2）

【解析】

【分析】（1）根据坡度比以及勾股定理即可求解，

（2）根据锐角三角形的边角关系即可结合图形关系进行求解.

【小问1详解】

由于所以,

设，则，

所以

【小问2详解】

过点作，垂足为,则,

在中，

又，

故宣传牌CD的高度为，

25. 如图，直线与双曲线相交于，B两点，与x轴相交于点．

（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；

（2）连接求的面积.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）将点代入，求得，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；

（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解

【小问1详解】

将点代入，得，

∴双曲线的函数表达式为：，

把和代入得，解得：，

∴直线AC的函数表达式为；

【小问2详解】

联立，

解得，或，

∵点A的坐标为，

∴点B的坐标为，

∵，

∴的面积为；

26. 已知y是x的二次函数，该函数的图象经过点；

（1）求该二次函数的表达式；

（2）结合图象，回答下列问题：

①当时，y的取值范围是________；

②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）：

③是否存在实数m、n（其中），使得当时，?

若存在，请求出m、n、若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）①；②；③存在，理由见解析；

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法将三点坐标代入即可求得二次函数表达式；（2）根据函数表达式利用五点作图法作出函数图象，①由图象可知当时，y的取值范围是；②对进行分类讨论，根据对称轴与区间的关系分别写出y的最大值的表达式；③由可知，一定在对称轴处取最小值1，可得，又因为时，可得，又，此时实数m、n不满足题意；当，解得，即存在满足题意.

【小问1详解】

设二次函数表达式为，

将三点坐标代入可得，解得；

所以二次函数表达式为

【小问2详解】

利用五点作图法列表如下：

通过描点、连线可得图象如下图所示：

①由图可知，当时，时y取最小值为1，时y取最大值为5，

所以y的取值范围是；

②由可知，对称轴为，

当时，即时，在内，

当时，y取最大值为；

当时，即时，在内，

当时，y取最大值为；

所以y的最大值为

③由可知，当时，必有时y取最小值1，

又需满足当时， 可得，

当时，，

所以，当 时，满足时， ；

但，即时不合题意舍去；

当，且时，

即，解得或（舍）

所以满足当时， .