2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省周口市太康县第二高级中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知：，那么命题的一个必要非充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先解不等式求出，然后结合选项根据必要不充分条件的概念即可判断.

【详解】因为，所以，然后结合选项根据必要不充分条件的概念可判断，

故选：B.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.

【详解】解：命题“”为全称量词命题，

其否定为：；

故选：D

3．已知，且，则当取到最小值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用1的替换，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，

故选：D

4．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案.

【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中，

可知 ，且为的两根，且，

即，即 ，

所以，当且仅当时取等号，

故选:C.

5．设函数的定义域为，对于任一给定的正数，定义函数，则称为的“界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论共有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】根据题意，表示出函数的解析式，再结合图像性质一一判断即可.

【详解】由，解得，因此 .

对于①，，故①错；

对于②，当时，，结合的解析式可知，的值域为，故②正确；

对于③，当时，，结合图像性质可知，在上单调递减，故③正确；

对于④，，结合图像可知函数为偶函数，故④正确.

故选：B.

6．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.

【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，

若时，函数在递减，递减，

所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，

选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，

所以交于轴正半轴，可排除D，

故选：C.

7．已知，，，则它们的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.

【详解】解：

，在上单调递减，

，

，，

，

故选：A.

8．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数有意义的条件，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】要使函数有意义，

则有，解得：且，

所以函数的解集为，

故选：B.

二、多选题

9．已知关于的不等式解集为，则（    ）

A．

B．不等式的解集为

C．

D．不等式的解集为

【答案】BCD

【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.

【详解】因为关于的不等式解集为，

所以和是方程的两个实根，且，故错误；

所以，，所以，

所以不等式可化为，因为，所以，故正确；

因为，又，所以，故正确；

不等式可化为，又，

所以，即，即，解得,故正确.

故选：BCD.

【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.

10．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为非奇非偶函数 B．函数的定义域为

C．的单调递增区间为 D．若，则

【答案】AC

【分析】根据点坐标，求出幂函数解析式，然后对选项分别进行判断即可.

【详解】设幂函数，为实数，

其图像经过点，所以，则，

所以，定义域为，为非奇非偶函数，故A正确，B错误.

且在上为增函数，故C正确.

因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，

都有成立，故D错误.

故选:AC.

11．已知定义域为的偶函数的图象是连续不间断的曲线，且，对任意的，，，恒成立，则（    ）

A．在上单调递增

B．是以4为周期的函数

C．的图象关于直线对称

D．在区间上的零点个数为100

【答案】BD

【分析】由题意可得函数在单调递增，，结合函数的单调性，奇偶性依次分析即得解.

【详解】由题意，对任意的，，，恒成立，故函数在单调递增；令，得，即.

对于A，由于在单调递增，因为为偶函数，故在上单调递减，故A错误；

对于B，因为，又，故，

所以，所以是以4为周期的函数，故B正确；

对于C，函数周期为4，且在单调递增，故函数在单调递增，若的图象关于直线对称，则，矛盾，故C错误；

对于D，函数周期为4，在单调递增，单调递减，且，即函数在一个周期内有两个零点，故在区间上跨越了50个周期，零点个数为，D正确．

故选：BD

12．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（    ）

A．若，则在上单调递减

B．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2

C．若在上有且仅有4个零点，则

D．若，且在区间上有最小值无最大值，则

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出，再逐项分析求解，判断作答.

【详解】依题意，，即，而，则，，

对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确；

对于B，的图象向左平移个单位后得函数，

依题意，，解得：，因此的最小值为2，B正确；

对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点，

则，解得：，C正确；

对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴，

且在处取得最小值，，因此，，且，

即，且，所以或，D不正确.

故选：BC

三、填空题

13．命题：，，则命题的否定是_________.

【答案】，.

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故命题的否定是：，.

故答案为：，.

14．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据幂函数的定义和性质求解即可.

【详解】解：因为幂函数在上单调递减，

所以，解得.

故答案为：.

15．已知函数，则函数的零点个数是______个．

【答案】3

【分析】函数的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，结合图象即可求出结果.

【详解】函数有的零点个数等价于函数函数与的交点个数，

作出函数与的图象，如图：

，

由图可知，函数与有3个交点，故函数有的零点个数为3，

故答案为：3.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

16．已知角，，则______.

【答案】

【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.

【详解】，，

，

，

，

，，

，则.

故答案为：.

四、解答题

17．已知命题，为假命题.

(1)求实数的取值集合；

(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，即可求得集合；

（2）分析可知，分、两种情况讨论，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意可得，解得，故.

（2）解：由题意可知.

当时，则，解得，此时成立；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

18．若存在，

(1)求实数m的取值范围；

(2)若为方程的两实数根，求的取值范围．

【答案】(1)或；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，借助一元二次不等式有解，列式求解作答.

（2）根据给定条件求出m的范围，再利用韦达定理变形，求出二次函数的值域作答.

【详解】（1）因存在，则关于x的一元二次方程有两个不等实数根，

因此，解得或，

所以实数m的取值范围是或.

（2）因为方程的两实数根，则，或，，

，

当时，，当时，，因此，

所以的取值范围是．

19．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

【答案】(1)小时

(2)小时

【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.

【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，

即血液含药量须不低于4微克，可得，           

解得，                                       

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．

（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，                        

解得，                                       

若，药物浓度，         

化简得，所以；                

若，药物浓度，                

解得，所以；                          

综上，                                      

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．

20．我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.

(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式;

(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.

【答案】(1)

(2)100千台，最大年利润为5 900万元.

【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可

（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.

【详解】（1）解：10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得，

当时，，

当时，

，

综上所述.

（2）当时，

当时， 取得最大值；

当时，

，

当且仅当时，

因为，

故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.

21．已知函数的图象过点．

(1)求函数和的解析式；

(2)设，若对于任意，都有，求m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据题意结合指对数运算求解；（2）先根据区间的定义求的取值范围，结合二次函数及作差法求，根据恒成立问题可得，再利用单调性解不等式.

【详解】（1）因为函数的图象过点，

所以，解得，

所以．

（2）因为且，所以且，

因为在上单调递减，在上单调递增

所以的最大值是或．

因为

．

所以，

若，只需，

即，则，

设，

任取且，

则

，

因为，所以，

，即，所以，

所以，即，

所以在区间上单调递增，且，

所以，即，

所以，所以m的取值范围是．

22．已知函数的部分图象如图．

(1)求的解析式及单调减区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)，减区间为

(2)函数在上的最大值为2，最小值为

【分析】（1）利用已知条件求出函数的关系式，从而可求单调减区间；

（2）由（1）得函数，根据的范围，结合余弦函数性质得最值.

【详解】（1）解：由图可知，且，

所以，

所以，

将点代入解析式可得，得

即，又，所以

则

所以的单调减区间满足

解得：

则的单调减区间为：

（2）解：由（1）得：

因为，所以

故当时，；当时，

所以函数在上的最大值为2，最小值为.