2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省襄阳市第四中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（       ）

A． B．，

C． D．，

【答案】C

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故命题“，”的否定是“”.

故选：C

2．集合的真子集的个数是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】C

【分析】根据条件求解的范围，结合，得到集合为，利用集合真子集个数的公式即得解.

【详解】由于，

，又，

，

，即集合

故真子集的个数为：

故选：C

【点睛】本题考查了集合真子集的个数，考查了学生对真子集概念的理解.

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先判断函数的单调性，再通过求解对应点的值，判断，结合零点判断定理，得出结论即可．

【详解】因为，可知在定义域为单调递增；

又因为，

，

，

．

所以，故函数的零点所在的区间为．

故选：C．

4．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

【答案】A

【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．

【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．

【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；

5．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设直角三角形较短的直角边长为，可得出较长直角边长为，由此可计算出小正方形和大正方形的边长，进而可得出关于的三角等式，进而可解得的值.

【详解】设直角三角形较短的直角边长为，则较长直角边长为，

所以，小正方形的边长为，大正方形的边长为，

由于小正方形与大正方形面积之比为，所以，，

由于，则，

由已知条件可得，解得，因此，.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何概型的概率公式求解角的正切值，解本题的关键在于将小正方形和大正方形的边长用表示，并根据已知条件列出方程组求解.

6．已知，则下列函数的图象错误的是（）

A．的图象 B．的图象 C．的图象 D．的图象

【答案】D

【分析】作出 的图像，根据图像的平移、翻折变换即可判断．

【详解】作出，如下图

的图像，由的图像向右平移一个单位，故A正确；

的图像，由的图像轴右侧的翻折到左侧，左侧翻折到右侧，故B正确；

的图像，由的图像右侧的保留不变，且把右边的翻折到左边，故C正确；

的图像，把轴下方的翻折到上方，图像与一样，故D错误；

故选D

【点睛】本题考查图像的平移、翻折变换，需掌握图像的变换法则，属于基础题．

7．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意当，时成立，得出，用作差法比较得出，即可得出答案.

【详解】解：因为，，

所以，，

根据题意当，时成立，

又，

所以，

即：，

又

所以，

所以，

故选：B.

【点睛】对数运算的一般思路：

（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；

（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二、多选题

9．甲､乙､丙､丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：

甲说：获奖者在乙丙丁三人中；

乙说：我不会获奖，丙获奖；

丙说：甲和丁中的一人获奖；

丁说：乙猜测的是对的.

成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是（    ）

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

【答案】BD

【分析】从四人的描述中可以看出，乙、丁的预测要么同时成立，要么同时不成立，再进行分类判断即可得解.

【详解】由题意乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，

若乙､丁的预测成立，则丙获奖、乙不获奖，

此时甲、丁中有一人获奖，丙预测的成立，与题设不符；

若乙､丁的预测不成立，此时甲、丙的预测均成立，则丁一定获奖，甲一定不获奖，

若乙、丁获奖，符合题意，

若丙、丁获奖，则四人预测均成立，与题设不符；

从而获奖的是乙和丁.

故选：BD.

【点睛】本题考查了推理案例的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.

10．已知x>0，y>0，且2x+y=2，则下列说法中正确的（    ）

A．xy的最大值为 B．4x2+y2的最大值为2

C．4x+2y的最小值为4 D．的最小值为4

【答案】ACD

【分析】在条件下结合基本不等式可以对每一个选项作出正确的判断.

【详解】由，当时等号成立，所以A正确；

，所以的最小值为2，故B不正确；

由，，当时等号成立，故C正确；

由，，当时等号成立，故D正确.

故选：ABD.

11．关于函数，有下述四个结论：

①是偶函数；                                

②在区间单调递增；

③在有4个零点；                    

④的最大值为2．

其中正确结论的序号是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AD

【分析】根据奇偶函数的定义可判断是偶函数；在区间上，可判断单调性；根据图象即可判断③；当且时，取得最大值2，可判断④．

【详解】，且的定义域为R，则函数是偶函数，故①正确；

当时，，，

则当时，，则在区间为减函数，故②错误；

画出函数的图象，

当时，，

由，得，即或，

由是偶函数，得在上还有一个零点，

即函数在有3个零点，故③错误；

当且时，取得最大值2，故④正确，

故正确的是①④，

故选：AD

12．存在函数满足：对于任意都有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】AC可举出反例，BD可写出符合要求的函数.

【详解】A选项，时得，1，函数值不唯一，A错误；

C选项，时得函数值不唯一，C错误；

B选项，满足要求；

D选项，满足要求．

故选：BD

三、填空题

13．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是______．

【答案】或

【分析】解一元二次不等式得到解集，根据充分不必要条件可知是的真子集，列不等式组求k的范围．

【详解】由，则，

由，则或，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，

则或，即或．

故答案为：或．

14．若角终边上一点P的坐标为，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】由题可得，进而即得.

【详解】由题可知角终边上一点P的坐标为，

所以，，

所以的最小值为.

故答案为：.

15．若是定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则当时，_________.

【答案】

【解析】根据得到，再取时，，根据函数奇偶性得到表达式.

【详解】是定义在R上的奇函数，则，故，

时，，则.

故答案为：.

16．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当，不等式恒成立时，实数的取值范围是__．

【答案】

【分析】根据抽象函数的定义，利用赋值法求出函数f（x）的表达式，然后根据不等式恒成立，结合对数函数的性质即可得到结论．

【详解】∵对于一切实数均有成立，

∴令y＝0，x＝1代入已知式，

得f（1）﹣f（0）＝2，∵f（1）＝0，∴f（0）＝﹣2；

令y＝0得，∴．

当，不等式恒成立时，即恒成立，

设，在（0，）上是增函数，∴，

∴要使恒成立，则在恒成立，

若a＞1时，不成立．

若0＜a＜1，则有时， ，∴要使在恒成立，

则，

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决此类问题的基本方法．

四、解答题

17．（1）计算；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）4；（2）1．

【解析】（1）根据指数幂的运算法则逐一进行化简；

（2）根据将指数换成对数，根据对数幂的运算法则进行化简；

【详解】解：（1）

＝

（2），

则

故.

【点睛】指数幂运算的一般原则

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；

（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；

（3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；

（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

18．（1）若，化简：；

（2）若，求的值．

【答案】（1）-2；（2）

【分析】（1）根据的角度范围，判断出和的取值范围，即可化简求值.

（2）根据已知条件，将式子化成含的式子，即可求出该式的值.

【详解】解：（1）由题意，，

∴，，

原式

．

（2）由题意，

∴

．

19．已知，的最小正周期为．

(1)求的值，并求的单调递增区间；

(2)若，求在区间上的值域．

【答案】(1)；当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为；

(2).

【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求的值，再由正弦函数的单调增区间即可求的单调递增区间；

（2）由题可得，然后正弦函数的图象和性质即得值域.

【详解】（1）由的最小正周期为，

所以，

当时，，

令，得，

故的单调递增区间为；

当时，，

令，得，

故的单调递增区间为；

（2）由，得，所以

由，得，所以，

因此，即在区间上的值域为．

20．已知函数．

（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；

（2）设，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令，则，将问题转化为在R上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案；

（2）利用符合函数的单调性易得在上单调递增，利用单调性将问题转化为恒成立，求出的最小值即可.

【详解】解：令，则．

（1）因为，所以，

则对任意，恒成立等价于对任意，恒成立.

故，解得或，即的取值范围为，

（2）因为，所以，

因为图象的对称轴为，所以在上单调递增，即在上单调递增．

因为，所以，．

因为，所以．

因为，所以，即．

因为，所以．

因为，所以，故．

因为，所以的取值范围是．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

21．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.

(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；

(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）

①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）

②求该养生壶保温的临界值.

【答案】(1)；

(2)①1次；②.

【分析】（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.

（2）①由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；

②由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.

【详解】（1）当时，设，则，可得，

所以.

当时，，则，可得，

综上，.

（2）①1次，理由如下：由题意，

从降至，则，可得分钟，

所以降至，所需时间分钟，

由于小王出门34分钟，

从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；

从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；

故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，

综上，只加热过一次.

②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟.

所以在时，水温正好被加热到.

从降至，则，可得，

从加热至，则，可得，

所以在上递减，且，即.

22．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数

（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（2）求证：函数（）为闭函数；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围

【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）

【分析】（1）可判断函数f（x）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；

（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[﹣1，1]；

（3）由是（0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，从而有，问题转化为方程有两个不等非负实根，利用二次方程根的分布知识可得k的限制条件；

【详解】（1）函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增；

所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．

（2）先证y＝﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

有＝＝，

∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的减函数．又因为y＝﹣x3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．

所以函数y＝﹣x3（x∈[﹣1，1]）为闭函数；

（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；

设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有；

故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；

设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，则，解得：

∴k的取值范围：．

【点睛】本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值，属于中档题．