2022-2023学年湖北省孝感市高一上学期1月期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省孝感市高一上学期1月期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】逐一带入验证的办法，先考虑中的那些元素满足，得到集合，然后根据补集的定义算出.

【详解】根据集合的定义，绝对值的意义可知，逐一带入到中，只有符合，于是，所以.

故选：D

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简求解即可.

【详解】.

故选：B.

3．下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义判断判断函数的奇偶性，根据函数的解析式判断单调性的.

【详解】因为，所以是奇函数，

因为，所以是奇函数，

因为，所以是偶函数，且在上单调递减，

因为，所以是偶函数，且在上单调递增.

故选：C.

4．函数的部分图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性可排除，然后取特殊值计算，可得结果.

【详解】函数的定义域为

则

所以该函数为奇函数，故排除

又，故排除，则正确

故选：A

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5．已知某扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据扇形面积公式可构造方程求得半径，代入扇形弧长公式可得结果.

【详解】设扇形的半径为，则扇形面积，解得：，

扇形弧长.

故选：B.

6．设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后判断其和的关系后进行分析.

【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像在上的性质可知，或，所以不一定推出，但可以推出，于是“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将分别与1，比较大小.

【详解】，，，

又因为，所以，．

所以，

故选：D

8．已知定义在上的函数满足：当时，，且对任意的，均有，若，则的取值范围是（是自然对数的底数）（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过对于抽象表达式合理赋值，推出是奇函数，结合奇函数的性质，先赋值推出上的单调性，然后得出上的单调性，最后解不等式.

【详解】令，即，

则，令，即，则，

结合定义域为可知，是奇函数，

对于，用替代，得到，

结合是奇函数，上式可化简成，，

且，，

结合题目条件：当时，，于是，，即，

故在上递增，又是定义域为的奇函数，

根据奇函数性质，在上递增，

于是等价于不等式：，解得

故选：D

二、多选题

9．已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据二次函数的对称轴及单调性即可求得.

【详解】函数对称轴为，且，，又因为值域为，由单调性可知A，B符合；C，D选项的值域为.

故选：AB

10．下列结论中，正确的结论有（    ）

A．如果，那么的最小值是2

B．如果，，，那么的最大值为3

C．函数的最小值为2

D．如果，，且，那么的最小值为2

【答案】BD

【分析】对A. 如果，那么，命题不成立；

对B.使用基本不等式得即可得的最大值；

对C. 函数，当且仅当时取等号，此时无解；

对D.根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式求解.

【详解】对于A： 如果，那么，最小值是2不成立；

对于B：如果，，，

则，整理得，

所以，当且仅当时取得最大值，所以的最大值为3，故B正确；

对于C：函数，当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故C错误；

对于D：如果，，且，

那么

，当且仅当时取得最小值，故D正确.

故选：BD

11．关于函数，列说法中正确的有（    ）

A．函数是奇函数

B．函数的零点有三个

C．不等式的解集是

D．若存在实数满足，则的最小值是9

【答案】BC

【分析】A选项：由定义域不关于原点对称判断不是奇函数；

B选项：分与解分段方程；

C选项：分与解分段不等式；

D选项：作出的图象，由对称性知，利用的取值范围并化简得，根据基本不等式求的最小值，要验证等号成立的条件.

【详解】A选项：函数的定义域为 ，不是奇函数，故A错误；

B选项：令且，得 或，

令 且，得 ，故函数有三个零点分别是，，8，故B正确；

C选项：令且，得 ，

令 且，得 ，故C正确；

D选项：如图，若，则关于对称，所以；

由图知，由得，

即，所以

所以，但，故取不到最小值9，所以D错误.

故选：BC

12．已知函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，则（    ）

A．函数的对称中心是

B．函数的对称中心是

C．函数有对称轴

D．函数有对称轴

【答案】ACD

【分析】对于AB，根据函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件分析判断，对于CD，根据函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件分析判断.

【详解】对于A，因为函数，

所以为奇函数，

所以点是函数的对称中心，所以A正确，

对于B，，则，

令，因为，

所以不是奇函数，

所以点不是函数的对称中心，所以B错误，

对于C，因为，所以，

当时，函数为偶函数，所以有对称轴，所以C正确，

对于D，因为，

所以，

当时，为偶函数，

所以的图象关于直线对称，所以D正确，

故选：ACD

三、填空题

13．已知，，则___________（用，表示）

【答案】

【分析】直接利用换底公式以及对数的运算性质，求解即可.

【详解】由题知，

故答案为：

14．已知角的终边经过点，则的值为___________．

【答案】##0.8

【分析】用诱导公式化简的值，再根据三角函数的定义求出的值即可.

【详解】因为，又因为角的终边过点，所以，

故答案为：

15．已知函数是定义域为的偶函数，且周期为2，当时，则___________．

【答案】1

【分析】根据周期为2及偶函数得，的值可以代入求得.

【详解】由题知当时，，因为函数周期为且为偶函数，所以，所以．

故答案为：1

16．已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由不等式为，分，和讨论求解.，

【详解】解：由题意知：不等式可化为，

当时，该不等式无解；

当时，，

如图所示：

由图象知：，

此时要有两个整数解是，，

所以，

所以，

当时，，

如图所示：

由图象知：，

此时由两个整数解0，1，

所以，

所以

所以，

综上的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知全集，集合，集合

(1)求，；

(2)集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）分别求解一元二次不等式，分式不等式，得到集合后进行求解；

（2）先写出集合，然后根据集合的包含关系求解参数范围.

【详解】（1）由题可知集合或

集合，

所以，

（2）因为集合，又因为是的充分不必要条件，所以有，所以有，则，所以的取值范围是

18．已知

(1)化简．

(2)若，求的值．

(3)若，且，求的值．

【答案】(1)

(2)1

(3)

【分析】（1）直接利用诱导公式即可得到化简得；

（2）；

（3）根据同角三角函数关系求得，则得到的值.

【详解】（1）由题知

（2）因为，，

所以，

（3）因为，且，所以，则

所以

19．已知函数，函数

(1)若函数为奇函数，求的值．

(2)若，且，求不等式的解集．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求解即可；

（2）求得，令，可判断其为奇函数，且在上单调递增，则，从而将转化为，再利用其单调性可求得结果.

【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为

则

所以有，所以

（2）因为，所以，

所以，

因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在定义域上单调递增，

令，

因为

，

所以为奇函数，

则，

，则．

所以不等式可以化为，

则，所以．

原不等式的解集为.

20．已知函数（其中）的图像与轴交于，两点，，两点间的最短距离为，且直线是函数图像的一条对称轴．

(1)求和的值．

(2)若，求的最值．

(3)若函数在内有且只有一个零点，求实数的值．

【答案】(1)，

(2)最大值为1，最小值为

(3)或．

【分析】（1）根据三角函数的性质即可求解和的值；（2）讨论函数在给定区间的单调性，进而可求最值；（3）根据函数在恰好为一个周期，所以要使得函数只有一个零点，则或,即可求解.

【详解】（1）由题知，两点间的最短距离为，所以，，

所以，

直线是函数图像的一条对称轴，

所以，

，又因为，所以

（2）由（1）知，

因为，所以，

令，则，

函数在上单调递增，

在上单调递减，

所以，即时，函数

有最大值，最大值为．

当，即，函数

有最小值，最小值为．

综上，的最小值为，最大值为

（3）因为函数在内有且只有一个零点，

所以在范围只有一个实根，

即函数在的图像在与直线只有一个交点，

因为恰为函数的一个周期，

所以要使函数在的图像在与直线只有一个交点，

则或，

所以或．

21．2022年我市某新能源汽车生产企业计划引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预计全年需投入固定成本500万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且根据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．

(1)求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）

【答案】(1)

(2)2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元

【分析】（1）根据利润=（销售额－投入成本－固定成本）求出关于的函数关系式；

（2）分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润.

【详解】（1）由题知当时，

当时，

所以

（2）若，，所以当时，

若，，，

当且仅当即时，．

因为,

所以2022年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.

22．已知幂函数是其定义域上的增函数．

(1)求函数的解析式；

(2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在

(3)

【分析】（1）因为是幂函数，所以；

（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；

（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

解得或

当时，，在为减函数，当时，，

在为增函数，所以.

（2），令，因为，所以，

则令，，对称轴为．

①当，即时，函数在为增函数，

，解得．

②当，即时，，

解得，不符合题意，舍去．

当，即时，函数在为减函数，，

解得．不符合题意，舍去．

综上所述：存在使得的最小值为.

（3），则在定义域范围内为减函数，

若存在实数，使函数在上的值域为，

则，

②-①得：，

所以，

即③．

将③代入②得：．

令，因为，，所以．

所以，在区间单调递减，

所以

故存在实数，使函数在上的值域为，

实数的取值范围且为．