2022-2023学年湖北省云学新高考联盟高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟高一上学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则C集合中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据定义列举出C中所有元素，即可判断.

【详解】，则可以为：，，，.

故，有3个元素.

故选：B

2．若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.

详解：若是第一象限角，则：

位于第一象限，

位于第二象限，

位于第四象限，

位于第三象限，

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.

3．德国数学家狄里克雷（Johann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，可知.检验或化简各项，即可得到答案.

【详解】根据函数的定义，知若，则.

，是个有理数.而其它选项都是无理数.

故选：C．

4．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据的定义域、零点确定正确选项.

【详解】由于，所以的定义域是，由此排除AB选项，

由解得，即是的唯一零点，由此排除D选项，

所以正确的选项为C.

故选：C

5．函数的零点所在区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.

【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,

又，，

由零点存在定理可知,零点所在区间为.

故选:.

6．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复合函数定义域及对数函数定义域即可求.

【详解】的定义域是，即，故，则的定义域为，

又的定义域为，故的定义域为.

故选：A.

7．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数计算，指数幂，并与常见的数值比较大小即可得解.

【详解】因为，

所以，

，

所以.

故选：D.

8．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.

【详解】因为为真命题，所以或，

对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，

对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，

对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，

对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，

故选：A

二、多选题

9．下列关于幂函数说法不正确的是（    ）

A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数

C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限

【答案】AD

【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.

【详解】幂函数的解析式为.

当时，，此函数先单调递减再单调递增，

则都是单调函数不成立，A选项错误；

当时，，定义域为，此函数为偶函数，

当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，

所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；

当时，无论取何值，都有，

图像必过点，C选项正确；

当时， 图像经过一三象限，D选项错误.

故选：AD.

10．设函数，若的最大值为M，最小值为m，那么M和m的值可能为（    ）

A．4与3 B．5与3 C．6与4 D．8与4

【答案】BCD

【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】令，，

∴，∴为奇函数，

设的最大值为t，最小值为，

∴，，可得，

∵，∴2b为偶数，

故选：BCD

11．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．命题“”的否定是“．”

B．若函数，则

C．“”是“函数在区间内有零点”的充要条件

D．函数（其中，且）的图象过定点

【答案】BD

【分析】对A，任意一种都符合的否定是存在一种不符合；对B，化简得，即可由整体法代入求值.对C，结合零点存在定理，注意需在连续；对D，结合指数函数、对数函数的定点判断即可.

【详解】对A，命题“”的否定是“．”，A错；

对B，，故，B对；

对C，由零点存在定理得，函数需在内连续且，则在区间内有零点，C错；

对D，由，故过定点，D对.

故选：BD

12．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．对任意的都有

C．对任意的都有

D．的值域是

【答案】ACD

【分析】根据奇偶性定义可知A正确；取可知B错误；当时，，结合反比例函数的性质可确定在上单调递增，结合奇偶性可知在上单调递增，知C正确；分离常数后可得在上的值域，结合对称性可得的值域，知D正确.

【详解】对于A，定义域为，，

为定义在上的奇函数，A正确；

对于B，由A知：为定义在上的奇函数，；

取，则，，

，B错误；

对于C，当时，，

在上单调递减，在上单调递增；

又为上的奇函数，在上单调递增，

在上单调递增，则，C正确；

对于D，当时，，，

又图象关于原点对称，当时，；

综上所述：的值域为，D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性、单调性综合应用问题，解题关键是能够采用分类讨论的方式，通过对在上的单调性和值域的求解，结合奇偶性确定其在上的单调性和值域.

三、填空题

13．已知半径为1的扇形，其弧长与面积的比值为___________．

【答案】2

【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.

【详解】设扇形的圆心角为，则其弧长，面积，

故弧长与面积的比值.

故答案为：2.

14．已知正数x，y满足，则上的最小值为______________．

【答案】

【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最小值.

【详解】正数x，y满足，

故，

其中，

当且仅当，即时，等号成立，

故.

故答案为：

15．若函数，当时，有最大值，则实数的最小值为___________．

【答案】

【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最大值，从而确定的最小值.

【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示，

当时，，此时无最大值；

当时，，即；

实数的最小值为.

故答案为：.

16．已知且，且在上单调递增，则实数的取值范围是____________．

【答案】

【分析】令且，分别在和的情况下，利用复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.

【详解】令且，则其对称轴为；

当时，在上单调递减，

在上单调递减且，，解得：，；

当时，在上单调递增，

在上单调递增且，，不等式组无解；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，已知全集，集合

(1)集合C表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C；

(2)若集合，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)首先化简求出集合，再由图确定集合间的关系，根据交集补集的定义即可求出集合C.

(2)由（1）知集合C，且，由包含关系即可求出实数a的取值范围.

【详解】（1），

由图可知

由图可知．故

（2）因为，故，因为，所以,

解得．

18．在①，②，③到这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集，__________，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义计算出，，即可求解；

（2）由题意可得,接着分，，三种情况进行讨论即可

【详解】（1）若选①：，

，

∴或，或，

故或；

若选②：，

，

∴或，或，

故或；

若选③：，

，

∴或，或，

故或；

（2）由（1）知，

因为“”是“”的必要不充分条件，∴,

（ⅰ）若，即，此时，

所以且等号不同时取得，解得，故；

（ⅱ）若，即，此时，符合题意；

（ⅲ）若，即，此时，

等号不同时取得，解得故．

综上所述，a的取值范围是

19．已知二次函数（a，b，c为常数）

(1)若不等式的解集为且，求函数在上的最值；

(2)若b，c均为正数且函数至多一个零点，求的最小值．

【答案】(1)最小值为，最大值为

(2)2

【分析】（1）根据二次函数和对应的二次不等式的解集的对应关系即可求解；（2）根据二次不等式的恒成立确定，再由均值不等式即可求解.

【详解】（1）

所以

∵在上单增，在上单减

当时，的最大值为，

最小值为．

（2）由至多只有一个零点，

则，

又可知，

所以

则（当且仅当时取等号），

则的最小值为2.

20．《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.

(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.

【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.

（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.

【详解】（1）当时，；

当时，，

所以.

（2）当时，，当时，取得最大值950，

当时，，

当且仅当，即时取等号，而，

所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.

21．已知定义域为的函数是奇函数．

(1)求实数的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)增函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数定义可构造方程求得的值；

（2）任取，整理得，由此可得结论；

（3）由奇偶性和单调性可化简不等式为，分离变量可得，根据能成立的思想可知，由此可求得结果.

【详解】（1）为定义在上的奇函数，，

即，，.

（2）由（1）得：，

任取，则，

，，，，

为定义在上的增函数.

（3）不等式可化为，

由（2）知：为上的增函数，，，

若存在，使得不等式成立，则；

，，，，

即实数的取值范围为.

22．已知函数的定义域关于原点对称，且．

(1)求b，c的值，判断函数的奇偶性并说明理由；

(2)若关于x的方程有解，求实数m的取值范围．

【答案】(1)为奇函数

(2)

【分析】(1)根据奇函数的定义域的对称性即可确定参数，再根据奇函数的定义即可求解; (2)根据分离常数法和参编分离确定范围即可求解.

【详解】（1）由题意，的定义域满足，

即的解集关于原点对称，

根据二次函数的性质可得与关于原点对称，故．

∴，

∴，

∴.

又定义域关于原点对称，

,

故

为奇函数．

（2）由（1），

因为∵，

∴，

∴的值域为

故关于x的方程有解，

即在上有解．

令，

则，

∵在上单调递增,

的值域为,

即m的值域为，

即实数m的取值范围为．