备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破06 一元二次方程与不等式（组）

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考点精讲
一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
不等式的相关概念
1．不等式
用不等号连接起来的式子叫做不等式．
常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”．
2．不等式的解与解集
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．
不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.
3．解不等式
求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.
一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．
2．一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．
解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．



考点解读
考点一、一元二次方程
1、定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2、一元二次方程的解法
直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。

③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。
3、一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
考点二、不等式（组）
1、定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc，＞。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
3、不等式(组)与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。

考点突破
1．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）解一元二次方程x2-6x+2=0，用配方法可变形为（       ）
A．(x-3)2=9 B．(x+3)2=9 C．(x-3)2=11 D．(x-3)2=7
2．（2022·河北保定·九年级期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（       ）
A． B．
C． D．
3．（2021·河北·景县教研室七年级期末）如果（m+3）x＜2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意实数
4．（2022·河北·石家庄二十三中九年级期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．BC＝8，则AC＝（　　）

A．44 B．44 C．16 D．12
5．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．2或4
6．（2021·河北唐山·一模）关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
7．（2018·河北·模拟预测）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（       ）
A． B． C． D．
8．（2021·河北·九年级专题练习）不等式组的整数解的个数是(       )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021·河北·九年级专题练习）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　)
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
10．（2021·河北石家庄·七年级期末）关于的不等式组．
（1）当时，不等式组的解集是______．
（2）当的解集是时，字母的取值范围是______．
11．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级期中）如图，矩形鸡场平面示意图，一边靠墙，墙长，另外三面用竹篱笆图成，若竹篱笆总长为，所围的面积为，则此矩形鸡场中，平行于墙面的竹篱笆边长为______．

12．（2021·河北秦皇岛·九年级期中）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．
13．（2021·河北唐山·九年级期中）解方程
（1）（配方法）
（2）（适当方法）
14．（2021·河北邯郸·七年级期末）建设新农村，绿色好家园．为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程．某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型）．经市场调查发现，3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元．
（1）求A型空调和B型空调的单价．
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
15．（2021·河北保定·九年级期中）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手次．
（1）若参加聚会的人数为，则共握手 次；若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手 次；
（2）若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数．
16．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程：．
（1）当时，解方程：
（2）若的一个解是，求；
（3）若抛物线与x轴无交点，试确定k的取值范围．
17．（2021·河北·九年级专题练习）某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元．
（1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1600元，那么最多可购买甲种词典多少本？
18．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）如图，一次函数y＝x＋4的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式x＋4≤的解集；
（3）将一次函数y＝x＋4的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．

19．（2021·河北邢台·七年级期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
20．（2020·河北石家庄·八年级期中）某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？

参考答案与解析：
1．D
【解析】
先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方即可．
【详解】

，
，
故选D
【点睛】
本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
2．C
【解析】
根据等量关系第10月的营业额×（1+x）2=第12月的营业额列方程即可．
【详解】
解：根据题意，得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
3．C
【解析】
由原不等式变形为（m+3）x