备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破08 二次函数

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二次函数的定义
一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.
3.抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).
考点解读
考点一：二次函数的定义
1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2、二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
考点二：二次函数的平移：
方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
考点三：二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
3、c决定了抛物线与轴交点的位置
考点四：二次函数与一元二次方程之间的关系

当b2－4ac＜0时
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
考点突破
1．（2021·河北承德·九年级期末）已知二次函数，下列叙述中正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线
C．函数有最小值
D．当时，函数值随自变量的增大而减小
2．（2022·河北邢台·九年级期末）对于二次函数（），若x>n时y随着x的增大而增大，则符合条件的整数n的值不可能为 （ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022·河北保定·九年级期末）二次函数的图象与轴的交点的横坐标分别为-1和3，则的图象与轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．-3和1B．1和5C．-3和5D．3和5
4．（2021·河北·廊坊市第六中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（−2，1）B．（2，−1）C．（1，2）D．（2，1）
5．（2022·河北·石家庄二十三中九年级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1D．x1＝﹣3，x2＝1
6．（2021·河北·九年级专题练习）二次函数y=x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
7．（2022·河北保定·九年级期末）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（ ）
A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）
8．（2020·河北·九年级期末）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ）．
A．-1B．2C．-1或2D．-1或2或1
9．（2021·河北秦皇岛·九年级期末）将抛物线向下平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后的抛物线表达式为___________________________
10．（2020·河北·模拟预测）如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
11．（2020·河北·鹿泉市李村镇联合中学九年级阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其规则为：，根据这个规则：
（1）中x的值是_________________；
（2）的最小值是_________________．
12．（2021·河北唐山·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）与反比例函数（）的图象如图所示，，是反比例函数图象上的两点，记、两点间的部分为，
（1）当时，二次函数的对称轴为____；
（2）____；
（3）若二次函数的图象与有两个公共点，则k的取值范围是_____．
13．（2020·河北唐山·九年级期中）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则当y＞3时，x的取值范围是______．
14．（2020·河北·沧州市第十四中学九年级阶段练习）用承重指数W衡量水平放置得长方体木板的最大称重量．实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x=3时，W=3．选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q=W厚-W薄，当x=_____时，Q=3W薄．
15．（2022·河北邢台·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答：
（1）当y＞0时，写出自变量x的取值范围 ___；
（2）若方程ax2+bx+c﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围___．
16．（2021·河北承德·九年级期末）已知二次函数中函数y与自变量x之间部分对应值如下表所示，点在函数图象上
则表格中的m＝______；当时，和的大小关系为______．
17．（2020·河北衡水·九年级期中）已知抛物线的图象如图所示，它与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点坐标为．

（1）求抛物线的解析式及与轴的另一个交点的坐标；
（2）根据图象回答：当取何值时，？
（3）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标．
18．（2021·河北·衡水高新区第一中学九年级阶段练习）如图,已知点B（1,3）,C（1,0）,直线y＝x+k经过点B,且与x轴交于点A,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空:A点坐标为（ , ）,D点坐标为（ , ）;
（2）若抛物线y＝x2+bx+c经过C,D两点,求抛物线的解析式;
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移,设平移后所得抛物线与y轴交点为E,点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点,在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在,此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在,请说明理由．
（提示:抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x＝﹣,顶点坐标是（﹣,）
19．（2020·河北唐山·九年级期中）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价﹣进货价）
（1）求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？
20．（2021·河北沧州·九年级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
21．（2021·河北保定·九年级期末）某公司以30元/千克的价格购进一批藜麦进行销售．若以每千克35元的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元时，日销售量就会减少15千克．设当天藜麦的销售单价为x（元/千克）（，且x是按0.5元的倍数上涨），销售量为y（千克），销售利润为w元．
（1）完成下表；
（2）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（3）为保证某天获得2880元的销售利润，且销售量较大，则该天的销售单价应定为多少？
（4）该公司应该如何确定这批藜麦的销售单价，才能使日销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2021·河北·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．
（1）当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是 ；
（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．
23．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）在篮球比赛中，小昆投出的球在点处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分，抛物线顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式；当球运动到点C时被小昆抢到，轴于点D，．求点C的坐标；
（2）小昆抢到球后，立即在点C把球传出，此时球经过的路线为抛物线（m为待定系数），试问篮球是否经过点？请说明理由．
24．（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求．
25．（2021·河北·九年级专题练习）已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0，0)
(轴)
(0，)
(，0)
(，)
()
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a0
x0(h或)时，y随x的增大而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
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