备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破09 反比例函数

考点精讲

反比例函数的概念

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

反比例函数解析式的确定 

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

考点解读

考点一：反比例函数的概念

1、定义

一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。

因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ．

考点二：反比例函数的图象及其性质

反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.

考点三：反比例函数的k的几何意义

由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .

如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；

同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.

考点突破

1．（2021·河北石家庄·九年级期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北保定·九年级期末）已知反比例函数，则下列说法正确的为（       ）

A．随的增大而增大 B．图象分别位于一、三象限

C．图象经过点 D．若图象经过点，，则

3．（2021·河北·广平县第二中学九年级期中）如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（ ）

A．﹣5 B．5 C．20 D．10

4．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3

5．（2020·河北·石家庄二十三中九年级期中）已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　）

A． B．

C． D．

6．（2020·河北·模拟预测）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）

A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2

7．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室九年级阶段练习）反比例函数，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限

C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．y随x的增大而增大

8．（2021·河北·石家庄市第十七中学九年级期中）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点 B．点 C．点 D．点

9．（2021·河北·滦南县宋道口镇初级中学九年级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和（k≠0）的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

10．（2021·河北承德·九年级期末）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（   ）

A．y= B．y= C．y= D．y=

11．（2019·河北石家庄·九年级开学考试）已知反比例函数y＝图象位于一、三象限，则m的取值范围是_____．

12．（2017·河北·模拟预测）（2016云南省昆明市）如图，反比例函数（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为______．

13．（2019·河北沧州·九年级期末）请你根据已有的学习经验和策略，试着研究函数y＝，并提出这个函数的两条性质：①_______________________；②_______________________.

14．（2021·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为（0，5）、（5，0），∠ACB＝90°，AC＝2BC，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，则k的值为______．

15．（2020·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______.

16．（2020·河北唐山·九年级期末）如图，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．

（1）求k．

（2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．

（3）若反比例函数y2＝与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值范围．

17．（2020·河北·模拟预测）某医药研究所研发了一种新药，试验药效时发现：1.5小时内，血液中含药量y（微克）与时间x（小时）的关系可近似地用二次函数y＝ax2+bx表示；1.5小时后（包括1.5小时），y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）表示，部分实验数据如表：

（1）求a、b及k的值；

（2）服药后几小时血液中的含药量达到最大值？最大值为多少？

（3）如果每毫升血液中含药量不少于10微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间．（≈1.41，精确到0.1小时）

18．（2021·河北·石家庄外国语学校三模）如图，反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点和点 ． 

（1）            ，            ；

（2）求一次函数的解析式，并直接写出时的取值范围；

（3）若点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为，求POM的面积．

19．（2020·河北·邢台市第七中学九年级期中）阅读理解：己知：对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2，当且仅当a = b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．

根据以上结论，解决以下问题：

(1)拓展：若a>0，当且仅当a=___时，a+有最小值，最小值为____；

(2)应用：

①如图1，已知点P为双曲线y=(x>0)上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB丄y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标以及周长最小值：

②如图2，已知点Q是双曲线y=(x>0)上一点，且PQ∥x轴， 连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内取一点C，使得以0、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点C的坐标．

20．（2020·河北·石家庄市第二十八中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，曲线经过点A．

（1）求曲线的表达式；

（2）直线y=ax+3(a≠0)与曲线围成的封闭区域为图象G．

①当时，直接写出图象G上的整数点个数是      ；（注：横，纵坐标均为整数的点称为整点，图象G包含边界．）

②当图象G内只有3个整数点时，直接写出a的取值范围．

21．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．

22．（2020·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.

23．（2021·河北石家庄·九年级期末）如图，直线与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知，．

（1）求的值及直线的解析式．