备战2023数学新中考二轮复习考点精讲精练（河北专用）突破12 三角形

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三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
三角形的三边关系
1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
等腰三角形
1.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.
线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
考点解读
考点一：三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
三角形的高、中线、角平分线
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的外角和等于360°。
(7)三角形的面积
三角形的面积=×底×高
考点二：特殊三角形
(1)等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
④勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
考点三：全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定
(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
4、全等变换
只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点突破
1．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形
2．（2021·河北唐山·一模）如图，数轴上点C所表示的数是（ ）
A．B．C．3.6D．3.7
3．（2021·河北唐山·七年级期末）如图，中，，，是边上的中线，若的周长为30，则的周长是（ ）
A．20B．24C．26D．28
4．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·河北唐山·模拟预测）如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北·石家庄市第八十一中学八年级期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
7．（2022·河北石家庄·八年级期末）一个三角形的两边长分别为4和6，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（ ）
A．20B．16C．13D．12
8．（2022·河北邯郸·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·河北邯郸·七年级期末）如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点O，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河北·九年级专题练习）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
11．（2021·河北·平山县外国语中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．
12．（2021·河北·石家庄市第二十八中学三模）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长为_______．
13．（2021·河北秦皇岛·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝__________°．
14．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）一个直角三角形，斜边长为4cm，两条直角边的长相差4cm，求这个直角三角形的两条直角边的长，可设较长直角边为xcm，根据题意可列方程_____．
15．（2021·河北·正定县教育局教研室八年级期中）如图，等边三角形ABC的边长为4，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作于点，过点作，交OC于点；过点作于点，过点作，交OC于点，则点的坐标是___，按此规律进行下去，点的坐标是______
16．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，在中，于点，若，，．
（1）求边的长；
（2）求的值．
17．（2021·河北·廊坊市第四中学八年级阶段练习）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．
18．（2021·河北石家庄·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F连接AF，CE．
（1）求证：OE＝OF；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
19．（2022·河北石家庄·八年级期末）已知在平面直角坐标系中，点在x轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限内移动，，．
(1)如图1，当，点C的坐标为时，若D为的中点，点E在上，连接，过点D作，交于点F，点F的坐标为．
①求证：；
②点E的坐标为___________；
(2)如图2，当，点C关于x轴对称的点的坐标为时，分别求点B，点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，该平面直角坐标系内存在点G（点G不与点A重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点G的坐标．
20．（2021·河北·石家庄二十三中八年级期末）如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t秒．
(1)若点P在AC上，且满足时，求此时t的值；
(2)若点P恰好在的平分线上，求t的值；
(3)若以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出t的值．
21．（2021·河北·九年级专题练习）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
22．（2020·河北唐山·八年级期末）如图，在中，，，分别是，边上的点，并且．
（1）是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点是上的一点，并且平分，平分．
①求证：是等腰三角形；
②若的周长为，，直接写出的周长（用含，的式子表示）．
23．（2021·河北邯郸·七年级期末）如图，，与交于点C，，，，判断与是否平行，并说明理由．
参考答案与解析：
1．A
【解析】
先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
【详解】
由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
【点睛】
本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点，掌握理解方位角的概念是解题关键．
2．A
【解析】
利用数轴表示数得到OA＝3，利用基本作图得到AB＝2，再利用勾股定理计算出OB，从而得到OC的长，然后利用数轴表示数的方法得到C点表示的数．
【详解】
解：∵OA＝3，AB＝3﹣1＝2，
∴OB，
∴OC＝OB，
∴点C表示的数为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系；利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．也考查了基本作图．
3．B
【解析】
根据的周长为30，可得BD+AD=15，结合三角形中线的定义，即可求解．
【详解】
解：∵的周长为30，
∴AB+BD+AD=30，
∵BD+AD=30-AB=30-15=15，
∵是边上的中线，
∴AD=CD，
∴的周长=CD+BD+BC=AD+BD+BC=15+9=24．
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义，是 解题的关键．
4．A
【解析】
由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．
【详解】
解：在和中

∴
故选A
【点睛】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
5．C
【解析】
先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【详解】
如图，
∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20，∠F=30，
∴∠BEF=∠1+∠F=50，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=50，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
6．B
【解析】
先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】
解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中
∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；
在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
7．C
【解析】
设三角形的第三边为x，根据三角形三边关系求出x的取值，根据x为整数，求出x的最小值，即可求出三角形周长最小值．
【详解】
解：设三角形的第三边为x，
∵三角形的两边长分别为4和6，
∴2＜x＜10，
∵第三边为整数，
∴第三边x的最小值为3，
∴三角形周长的最小值为：3+4+6=13．
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，熟知三角形三边的关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是解题关键．
8．C
【解析】
根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【详解】
解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
9．A
【解析】
根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
【详解】
解：∵∠AOB=125°，
∴∠OAB+∠OBA=55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠OAB+∠OBA）=110°，
∴∠C=70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10．B
【解析】
当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论．
【详解】
当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时，﹣6+k+2=0
∵，，，
∴，
解得：，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键．
11．
【解析】
连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．
【详解】
解：连接BD，
∵点E为AB的中点，于点E，，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
12．米
【解析】
先由坡度的定义求出BC的长，再由勾股定理即可求解．
【详解】
解：迎水坡的坡比是，米，
（米），
（米），
故答案为：米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．
13．112
【解析】
首先根据∠ACB=68°可得∠1+∠PCB=68°，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义等量代换可得答案．
【详解】
解：∵∠ACB=68°，
∴∠1+∠PCB=68°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∴∠BPC=180°-（∠2+∠PCB）=112°．
故答案为：112．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理和角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的内角和定理．
14．
【解析】
依题意，直角三角形的三条边都已知，按照直角三角形的性质，满足勾股定理，即可求解；
【详解】
解：设较长直角边为cm，则较短直角边为cm，
根据题意得：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查直角三角的性质，关键在熟练应用勾股定理；
15． （3，） （）
【解析】
根据图形算出A点、点、点的坐标，进而总结出坐标规律，即可完成本题．
【详解】
如图，分别连接、、、、…
∵是等边三角形
∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠A=∠ACB=60°
∵
∴是AC的中点
∵
∴是BC的中点
∴
∴
由勾股定理得
∴
∵
∴
∴是等边三角形，且边长为2
同理可得：点是中点，是的中点
∴，
∴
∴
同理，是等边三角形，且边长为1
∴，
∴
同理，，，…
一般地，
根据上述规律得：
故答案为：（3，），
【点睛】
本题主要考查点的坐标的规律以及等边三角形的判定与性质，总结出点的规律是解题的关键，体现了由特殊到一般的数学思想，属于填空题中的压轴题．
16．（1）；（2）
【解析】
利用的正切在直角三角形的边角间关系求出；
利用勾股定理求出，再求的余弦值．
【详解】
解：，
是直角三角形．
在中，
，
．
，
．
在中，．
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
17．（1）， ；（2）， ；（3）．
【解析】
（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】
解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．
理由如下：
如图1，延长交于点．
于，
．
，，
，
，，．
，
．
AE⊥BC
∴，
，
．
（2）与的位置关系是：，数量关系是．
如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，
，
，
即．
，，
，
，．
AE⊥BC
∴，
又∵
，
．
（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，
和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
与的夹角度数为．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断．
18．（1）OE＝OF，详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，详见解析
【解析】
（1）根据矩形的性质得出AD//BC，求出∠EAO＝∠FCO，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在和中，
，
，
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．
19．(1)①见解析；②
(2)
(3)或或
【解析】
（1）①连接．根据等腰三角形的性质得到，平分，求得，．根据全等三角形的性质即可得到结论；
②如图1，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，；过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，，直线交于点；过点作轴于点，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，．得到点，点的坐标为，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到点的坐标为；
（3）分三种情况讨论，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可求解．
(1)
解：①连接．
，为的中点，
，平分，
，．
，
，
，
，
．
又，
，
．
，
；
②如图1，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，；过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，，直线交于点；过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
即点的坐标为，
故答案为：；
(2)
解：如图2，过点作轴，轴，分别交轴，轴于点，．
由题可得，，
点，点的坐标为，
点的坐标为，
，
．
在和中，
，
，
，
，
点的坐标为；
(3)
解：如图3，
若，时，且点在下方，过点作，过点作，
，，
，且，，
，
，，
，
点，
若，时，且点在上方，
同理可求点，
若，时，点在上方，
同理可求点，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
20．(1)
(2)或24
(3)2或19或20或
【解析】
（1）根据题意由勾股定理求出AC=8，设AP=t，则PC=8-t，在Rt△PCB中，依勾股定理得（8-t）2+62=t2，解方程即可；
（2）根据题意分两种情况，①点P在BC上时，过点P作PE⊥AB，则PC=t-8，PB=14-t，证明△ACP≌△AEP（AAS），得出AE=AC=8，BE=2，在Rt△PEB中，依勾股定理得出方程，解方程即可；②点P又回到A点时，由AC+BC+AB=24，得出t=24；进而即可得出答案；
（3）根据题意分两种情况讨论：当P在AC上时，△BCP为等腰三角形；当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP=PB；②PB=BC时；③PC=BC，进行讨论易得t的值．
(1)
解：（1）如图1，PA=PB，
在Rt△ACB中，，
设AP=t，则PC=8-t，
在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8-t）2+62=t2，
解得：t＝，
即此时t的值为.
(2)
解：分两种情况：
①点P在BC上时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，
∴PC=t-8，PB=14-t，
∵AP平分∠BAC
且PC⊥AC
∴PE=PC
在△ACP与△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AE=AC=8，
∴BE=2，
在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2=PB2
即：（t-8）2+22=（14-t）2
解得：t＝；
②点P又回到A点时，
∵AC+BC+AB=8+6+10=24，
∴t=24；
综上所述，点P在∠BAC的平分线上时，t的值为秒或24秒．
(3)
解：根据题意得：AP=t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC=BC，即8-t=6，
∴t=2，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP=PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥BC于E，
∴BE=BC=3，
∴PB=AB，即t-6-8=5，解得：t=19，
②PB=BC，即t-6-8=6，
解得：t=20，
③PC=BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF=BP，
∵∠ACB=90°，
依题意有CF=8×6÷10=，
在Rt△BFC中，=，
∴PB=2BF=，
∴t=8+6+=，
∴当t=2或19或20或时，以P，C，B为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等；由勾股定理得出方程并利用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）13
【解析】
根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．
【详解】
解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
【点睛】
本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．
22．（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①见解析；②的周长．
【解析】
（1）由已知和MN//BC 可以得到，从而得到△AMN 是等腰三角形；
（2）①由已知和MN//BC 可以得到 ，从而得到△BPM是等腰三角形；
②由①可得MP=MB、NP=NC，从而得到△AMN 的周长=AB+AC=a-b．
【详解】
解：（1），．
，，，
，
，
是等腰三角形；
（2）①平分，，
，，
，
是等腰三角形；
②的周长．
是等腰三角形，，
同理可得：，
的周长，
，
又的周长为，
，
的周长．
【点睛】
本题考查等腰三角形的综合运用，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、平行线的性质是解题关键．
23．平行，见解析
【解析】
利用平行线的性质和三角形内角和关系求出∠CED=∠A即可证明AB与DE平行．
【详解】
解：与平行，理由如下：
∵，
∴
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．