考点精讲

平行四边形的性质定理

   平行四边形的对角相等；

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形的判定定理

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

多边形内角和、外角和

    边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．

考点解读

考点一：四边形

定义1：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

按照组成多边形的线段的条数可以分为：三角形、四边形、五边形、六边形、···。三角形是最简单的图形。

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。

定义2：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

定义3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

定义4：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

n边形内角和等于(n-2)×180°，对角线条数为。

多边形的外角和等于360°。

考点二：平行四边形

(1)定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

(2)平行四边形的性质

平行四边形的对边平行且相等；

平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分。

(3)    平行四边形的判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

（5）平行四边形的面积

S平行四边形=底×高

(6)中位线

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

考点三：矩形

(1)定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

(2)矩形的性质

矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(3)矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

有三个角是直角的四边形是矩形。

考点四：菱形

(1)定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

(2)菱形的性质

菱形具有平行四边形的一切性质；

菱形的四条边都相等；

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。

(3)菱形的判定

一组邻边相等的平行四边形是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四条边相等的四边形是菱形。

（4）菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五：正方形

正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。

考点突破

1．（2021·河北·九年级专题练习）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·河北承德·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

3．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（       ）

A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．正方形

4．（2019·河北·保定市第一中学分校七年级期末）如图，依据尺规作图的痕迹，则是（       ）

A．54° B．36° C．28° D．72°

5．（2021·河北沧州·八年级期末）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；

②EC平分∠DCH；

③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；

④当点H与点A重合时，EF＝2．

以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2021·河北沧州·八年级期末）工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是（       ）

A．两组对边分别相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形

7．（2021·河北沧州·八年级期末）如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·河北·邯郸市永年区教育体育局教研室八年级期末）如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（       ）

A．360° B．720° C．1080° D．1440°

9．（2021·河北唐山·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则BD的长为_____．

10．（2021·河北邯郸·八年级期末）如图，菱形中，，，其周长为________．

11．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交于G，连接，．（1）______；（2）______；（3）正方形的边长为______．

12．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）如图，在中，已知，，，依次连接三边中点，得，再依次连接的三边中点，得，…则的周长＝________．的周长＝_________．

13．（2021·河北·石家庄外国语学校八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则它是______形．若∠AOB=60°，则AB：AC=_______．

14．（2021·河北保定·八年级期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是 　    　．（填序号）

15．（2021·河北邢台·九年级期中）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B、C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm，EH＝4cm．

（1）点C到AB的距离为 ___cm．

（2）点A到地面的距离为 ___cm．

16．（2021·河北石家庄·九年级期中）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．

17．（2021·河北邯郸·八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．

（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；

（2）若CB＝CE，∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠CBE的度数．

18．（2021·河北廊坊·二模）如图1，在正方形ABCD中，，点O、E在边CD上，且，，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD延长线于点F．

（1）________．

（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转，点O的对应点为，点F对应点为，当半圆交BC于P、R两点时，若弧PR的长为，求此时半圆与正方形ABCD重叠部分的面积．

（3）当半圆与正方形ABCD相切时，设切点为N，直接写出的值．

19．（2021·河北保定·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．

（1）求点E和点D的坐标；

（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2021·河北保定·八年级期末）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE＝BF，连接DE过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC．

（1）请判断：FG与CE的数量关系是　 　  ，位置关系是　 　  ．

（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请写出判断并予以证明；

（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？如果成立，直接写出结论；如果不成立，说明理由．

21．（2021·河北保定·八年级期末）如图所示，四边形ABCD，已知AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝BC＝2，CD．计算这个四边形的面积．

22．（2021·河北承德·一模）如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：

（1）四边形DBCF是平行四边形

（2）

23．（2021·河北唐山·九年级期中）如图，在矩形中，，，点在边上，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止．

（1）边的长为______；

（2）设点运动的时间为秒，若点从到再到共用时秒．连接，请求出当被线段截得的三角形与相似时的值．

24．（2021·河北沧州·八年级期末）实践与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．

（1）求直线l1的解析式；

（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标；

（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．

25．（2021·河北保定·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使，连接AF．

（1）求证：AE＝CE；