2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点01数与式

核心考点01 数与式

考向分析

1.从考查的题型来看

涉及数与式知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现，少数题目以解答题的形式出现,题型较为简单,属于中低档题.

2.从考查内容来看

涉及数与式知识点主要的有：

实数：有理数的相反数、倒数、绝对值与比较大小,有理数的四则运算法则,平方根(立方根),非负数,无理数及其估算,实数与数轴的关系，科学记数法；

整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；

分式：分式的意义、分式的加减乘除化简；

二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；

因式分解：因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.

考点详解

1．实数的分类

注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如，等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；

（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；

（4）某些三角函数，如sin60°等.

2．实数大小的比较

实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.

3．解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握

（1）常见的非负数有：任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则也为非负数，即≥0；

（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.在解决非负性为0的问题上通过运用方程思想方法来求相关实数的值.

4．对于实数的运算关键就是掌握运算法则、规律及顺序

(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.

(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.

(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.

(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.

(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.

5．科学记数法

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.

6.代数式（整式、因式分解、分式、二次根式）如下表:

对于学习代数式归纳从以下几个方面进行：

7．整式的概念与运算

(1)单项式与多项式统称整式.

观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．

多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．

考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；

(2)幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除);单项式、多项式的加减与乘除运算

①幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．

②整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．

8．因式分解的概念与方法步骤

①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．

②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.

③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．

一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.

9．分式的意义与运算

（1）“0”的归纳：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．

分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

（2）分式的化简:将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；

（3）分式的加减运算

通分找关键归纳：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：（i）将各个分母分解因式；（ii）找各分母系数的最小公倍数；（iii）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（ii）（iii）的因式之积即为各分式的最简公分母．

（4）分式的乘除运算,约分找先后归纳：①分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．

（5）分式的乘方运算,先确定幂的符号,遵守“正数的任何次幂都是正数,负数的偶数次幂是正数,负数的奇数次幂是负数”的原则.

（6）分式的混合运算有乘方,先算乘方,再算乘除,有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．

10．二次根式的意义及运算

①非负性转化归纳：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．

利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．

②二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并.

③二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数.

④二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．

⑤判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．

11．比较分式与二次根式的大小

①分式：对于同分母分式,直接比较分子即可,异分母分式通常运用约分或通分法后作比较;

②二次根式：可以直接比较被开方数的大小,也可以运用平方法来比较.

真题再现

一、单选题

1．（2021·四川内江·中考真题）－2021的绝对值是（       ）

A．2021 B．－2021 C． D．

2．（2021·湖北宜昌·中考真题）﹣2021的倒数为（　　）

A．﹣ B． C．﹣2021 D．2021

3．（2021·内蒙古通辽·中考真题）|－2|的倒数是（       ）

A．2 B．－2 C． D．

4．（2021·辽宁盘锦·中考真题）自然数3的相反数是（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣ D．

5．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（        ）

A． B． C．9 D．

6．（2021·山东青岛·中考真题）下列各数为负分数的是（       ）

A．－1 B． C．0 D．

7．（2021·山东青岛·中考真题）2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（     ）

A． B．且 C． D．且

9．（2021·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（     ）

A． B．

C． D．

10．（2021·四川内江·中考真题）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（     ）

A． B． C． D．

11．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（       ）

A．12 B．13 C．24 D．25

12．（2021·甘肃兰州·中考真题）计算：（       ）

A． B． C． D．

13．（2021·甘肃兰州·中考真题）因式分解：（       ）

A． B．

C． D．

14．（2021·青海西宁·中考真题）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（       ）

A． B．

C． D．

15．（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列计算结果正确的是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．（2021·山东青岛·中考真题）计算：__________．

17．（2021·四川内江·中考真题）若实数满足，则__．

18．（2021·四川内江·中考真题）分解因式：__．

19．（2021·辽宁沈阳·中考真题）化简：__________．

20．（2021·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升记作，则下降记作______．

21．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________．

22．（2021·青海西宁·中考真题）计算_______．

23．（2021·青海西宁·中考真题）解决全人类温饱问题是“世界杂交水稻之父”袁隆平先生的毕生追求．2020年中国粮食总产量达到657 000 000吨，已成为世界粮食第一大国．将657 000 000用科学记数法表示为________．

24．（2021·四川绵阳·中考真题）若，，则_____．

25．（2021·四川绵阳·中考真题）据统计，截止2021年3月，中国共产党党员人数超过9100万．数字91000000用科学记数法表示为__．

三、解答题

26．（2021·北京·中考真题）计算：．

27．（2021·山东青岛·中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．

表①

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．

表②

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．

（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．

（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．

28．（2021·山东青岛·中考真题）（1）计算：；

（2）解不等式组：，并写出它的整数解．

29．（2021·四川内江·中考真题）计算：．

30．（2021·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：，其中．