2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点02方程（组）与不等式（组）

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核心考点02 方程（组）与不等式（组）
考向分析
1．从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查,一般情况三种形式选择其一,不同时存在一套试题,占比分相当大,难度属于中档题较多.解答题占的分值在8分~10分之间,以应用题考查为主.
2．从考查内容来看, 涉及本知识点的重点有：由实际问题抽象出一次方程组，判断一次方程（组）的解、解一次方程组，不等式的基本性质，解一元一次不等式（组），并会表示解集，一元一次不等式（组）的应用，一元二次方程的定义及解法，根的判别式，根与系数的关系.
3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:二次一次方程组的解法,由实际问题列出二次一次方程组,由二元一次方程组的解求有关问题等比较受命题者的关注.
考点详解
1．一次方程的概念
（1）判断一个方程是否是一元一次方程的方法：①方程的两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高指数是1.
（2）二元一次方程的识别：①方程的两边都是整式；②含有两个未知数；③每个未知数的最高指数都是1.
2．一次方程（组）的解法
解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
方法归纳：根据解一元一次方程的五步法计算即可（有时个别步骤可以省略）．除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意括号前是“−”号时每一项应该变号．
解一元二次方程组的方法:代入法与加减法.
方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元.当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不相等或互为相反数时，一般采用加减消元法．根据题意选择适当的方法快速求解．
3．列一次方程（组）解应用题的一般步骤简化：
（1）审题;（2）设未知数;（3）列方程（组）;（4）解方程（组）;（5）检验;（6）写出答案．
解应用题的书写格式： 设→根据题意列方程（组）→解这个方程（组）→答．
4．不等式的有关概念：用 不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的集合叫做不等式的解集.求一个不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
5．不等式基本性质
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
6．一元一次不等式（组）的解法
（1）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
（2）一元一次不等式组的解法
i）分别求出不等式组中各个不等式的解集;
ii）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
iii）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”.
7．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系；
（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数；
（3）列一元一次不等式（组）；　　
（4）解一元一次不等式（组）；
（5）检验，看解集是否符合题意；
（6）写出答案．
解应用题的书写格式：设→根据题意列不等式（组）→解不等式（组）→答．
真题再现
一、单选题
1．（2021·四川内江·中考真题）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格=原售价×（1-降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率．
【详解】
解：设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出不等式的解集，并表示出数轴上即可．
【详解】

解得
将表示在数轴上，如图

故选B
3．（2021·青海西宁·中考真题）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．
【详解】
解：由题意可得：
2019年用水总量为亿立方米，
2020年用水总量为亿立方米，
所以．
故选：A．
4．（2021·四川绵阳·中考真题）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（       ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【分析】
设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】
解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x＋6＝12x−6，
解得：x＝6，
∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即该分派站现有包裹66件．
故选：B．
5．（2021·四川绵阳·中考真题）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（       ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】
解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
6．（2021·四川德阳·中考真题）关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k＜1 D．k＜﹣1
【答案】B
【分析】
将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】
解：解方程组可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴，
解得k＞-1，
故选：B．
7．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【分析】
点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】
解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
8．（2021·湖南湘潭·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为元，第二次降价后为，再结合题意解题即可．
【详解】
解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程

故选：A．
9．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
【答案】D
【分析】
设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为元，再列不等式即可.
【详解】
解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故选：
10．（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【分析】
分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
11．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，其中一件盈利60%，另一件亏损20%，在这次买卖中这家商店（       ）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．盈利10元 D．亏损20元
【答案】B
【分析】
设分别设两件运动衫的进价分别是a元，b元，根据售价=成本±利润，列方程求得两件运动衫的进价，再计算亏盈．
【详解】
解：设盈利60%的运动衫的进价是a元，亏本20%的运动衫的进价是b元．则有
（1）a（1+60%）=160，
a=100；
（2）b（1-20%）=160，
b=200．
总售价是160+160=320（元），总进价是100+200=300（元），
320-300=20（元），
所以这次买卖中商家赚了20元．
故选：B．
12．（2021·广西桂林·中考真题）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．16（1﹣x）2＝9 B．9（1+x）2＝16 C．16（1﹣2x）＝9 D．9（1+2x）＝16
【答案】A
【分析】
根据该药品得原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意得：16（1-x）2=9．
故选：A．
13．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
【答案】A
【分析】
直接根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴
∴
∴∠C=32°
故选：A．
14．（2021·湖北荆门·中考真题）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故选：A．
15．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【分析】
分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
【详解】
解：①当点A在B、C两点之间，则满足，
即，
解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，
即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，
即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；
故选项D错误；
故选：A．
二、填空题
16．（2021·广东广州·中考真题）方程 x2-4x=0的实数解是 ____．
【答案】x1=0，x2=4．
【分析】
方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程x2-4x=0，
分解因式得：x（x-4）=0，
可得x=0或x-4=0，
解得：x1=0，x2=4．
故答案为：x1=0，x2=4．
17．（2021·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为 ___．
【答案】且##a≠0且a≥-2
【分析】
根据题意可知，代入求解即可．
【详解】
解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，
，
∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，
∴且，即，
解得：且
故答案为：且．
18．（2021·辽宁沈阳·中考真题）不等式组的解集是__________．
【答案】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
19．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【分析】
由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】
解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
20．（2021·四川绵阳·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省_____元．
【答案】145
【分析】
设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数=打折前购买的总费用-打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．
【详解】
解：设打折前每盒肉粽的价格为x元，每盒白粽的价格为y元，
依题意得：， 解得：，
∴5x+5y-（0.6×5x+0.7×5y）=5×50+5×30-（0.6×5×50+0.7×5×30）=145．
故答案为：145．
21．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中为红珠，为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
【答案】20
【分析】
设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可．
【详解】
解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，
，
由①得，，
结合②得，
解得，，
又因为总的弹珠数量、红珠数量和绿珠数量都是整数，
所以，刘凯的蓝珠最多有20个．
故答案为：20．
三、解答题
22．（2021·四川内江·中考真题）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫价格
甲
乙
进价（元件）


售价（元件）
260
180

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【分析】
（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答；
（2）根据题意列不等式组解答；
（3）设总利润为，表示出w与x的函数解析式，再分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出利润的最大值即可得到答案．
【详解】
解：（1）依题意得：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则
，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
23．（2021·青海西宁·中考真题）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如下表：
型号
载客量（人/辆）
租金单价（元/辆）A
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【答案】（1）；（2）1辆；（3）租车方案有3种：方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【分析】
（1）根据租车总费用＝每辆A型号客车的租金单价×租车辆数＋每辆B型号客车的租金单价×租车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
（2）由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
（3）由题意得出，求出x的取值范围，分析得出即可．
【详解】
解：（1），
∴；
（2）根据题意，得：，
解得，
∵x应为正整数，
∴
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得，
解得，
结合（2）的条件，，
∵x应为正整数，∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种：
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆．
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
24．（2021·辽宁沈阳·中考真题）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【答案】增加了3行3列．
【分析】
设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．
【详解】
解：设增加了行，则增加的列数为，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，（舍，
答：增加了3行3列．
25．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，四边形是⊙的内接矩形，过点的切线与的延长线交于点，连接与交于点，，．

（1）求证：；
（2）设，求的面积（用的式子表示）；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）由矩形性质可得,然后证明即可得出结论；
（2）根据勾股定理得出，根据相似三角形性质得出，则，根据勾股定理得出的值，运用三角形面积公式表示即可；
（3）记与圆弧交于点，连接，证明，即可得出，求出的值，过作于，过作于．运用等面积法得出，根据勾股定理得出，代入数据联立的值，解方程得出，，设，则，根据相似三角形性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形为的内接矩形，
∴，过圆心，且．
∵,
∴,
又∵是的切线，故，
由此可得，
又∵与都是圆弧所对的圆周角，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由，，则，
由题意．
由（1）知，则，
代入，，，
可得，解得．
在直角中，，
所以；
（3）解：记与圆弧交于点，连接．

∵，，，
∴．
又，所以，
∴．
∴，故．
由（2）知，由，，则，
由题意可得，
代入数据，，，
得到，解得①．
过作于，过作于．
易知．
由等面积法可得，
代入数据得，即．
在直角三角形中，
．②
由①②可得，得，
解得，（舍去）．
所以，．
由，故，故．
设，则，代入得，
解得，即的长为．
26．（2021·四川绵阳·中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买、两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买、两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）50、51、52、53、54、55；（2）50根，100根，最大利润为76000
【分析】
（1）设工艺厂购买类原木根， 类原木（150-x），根类原木可制作甲种工艺品4件+（150-x）根类原木可制作甲种工艺品2(150-x）)件不少于400，根类原木可制作乙种工艺品2件+（150-x）根类原木可制作乙种工艺品6（150-x）件不少于680列不等式组，求出范围即可；
（2）设获得利润为元，根据每件甲利润乘以甲件数+每件乙利润乘以乙件数列出函数，根据函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设工艺厂购买类原木根， 类原木（150-x）根
由题意可得，
可解得，
∵为整数，
∴，51，52，53，54，55．
答：该工艺厂购买A类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55．
（2）设获得利润为元，
由题意，，
即．
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，取得最大值76000．
∴购买A类原木根数50根，购买B类原木根数100根，取得最大值76000元．
27．（2021·山东济南·中考真题）解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【分析】
分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】

解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：