2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点07解直角三角形

核心考点07 解直角三角形

考向分析

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查,属于中低档题,较为简单,少数以解答题形式考查,属于中档题,难度一般。

2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；方位角、俯角仰角、坡角（坡度）；解直角三角形的应用。

3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；解直角三角形的实际生活应用。

考点详解

一． 锐角的三角比

1．如图，在△中，，直角边和分别叫做的对边和邻边．

2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．

．

（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．

．

（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．

．

 （4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．

．

二． 特殊角的三角比

1．特殊角的锐角三角比：

三．解直角三角形

1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．

2．在△中，90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：

（1）锐角之间的关系：90°；

（2）三边之间的关系：；

（3）边角之间的关系：；；；．

 3．解直角三角形的类型与解法：

类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）

类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）

四．解直角三角形的实际运用

（1）仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角

（2）坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h:l.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα.坡度越大，α角越大，坡面越陡.

（3）方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.

方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．所构造的直角三角形与已知条件或图形关系要密切.一般在直角三角形中，根据所给的边和角度，选用适当的锐角三角函数，求出有关的边和角.在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角

形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.

真题再现

一、单选题

1．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（     ）

A． B． C． D．

2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（       ）

①当时，是等边三角形．

②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．

③当时，．

④当时，．

⑤当时，．

A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤

3．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．（2021·四川达州·中考真题）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）

A． B．

C． D．

5．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（       ）

A． B．

C． D．

6．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（       ）

A．4 B．3 C． D．2

7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（　　）

A． B． C． D．

8．（2021·四川巴中·中考真题）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　）

A．sinB B．sinC

C．tanB D．sin2B+sin2C＝1

9．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，连接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°， AB＝6，则AD的长是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．

10．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（　　）

A．1 B． C． D．

11．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（       ）

A． B．

C． D．

12．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米

13．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（       ）

A． B． C． D．

14．（2021·广西玉林·中考真题）如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（       ）

A． B． C． D．以上都有可能

15．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（       ）

A． B．2 C． D．3

二、填空题

16．（2021·四川绵阳·中考真题）在直角中，，，的角平分线交于点，且，斜边的值是______．

17．（2021·辽宁朝阳·中考真题）已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为__________．

18．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）

19．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为____________．

20．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为________

三、解答题

21．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．

（参考数据：，，，，，）

22．（2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

23．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）连结，在（2）的条件下，求的长．

24．（2021·甘肃兰州·中考真题）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

25．（2021·山东日照·中考真题）已知：抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值；

（3）如图2，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点．

①求的周长及的值；

②点是轴负半轴上的点，且满足（为大于0的常数），求点的坐标．

26．（2021·辽宁鞍山·中考真题）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）