2023 数学新中考二轮复习热点透析 核心考点09圆

核心考点09 圆

考向分析

1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.

2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).

3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.

考点详解

一、垂径定理及其推论

1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．

2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．

3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．

4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．

5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．

6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．

二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

3．正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余两项皆相等．

三、圆周角定理及其推论

1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

3．注意：（1）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角．

（2）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．

（3）圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化．

（4）定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

四、点、直线、圆之间的位置关系

1．点与圆的位置关系判断

（1） d<r，点P在⊙O内；（2） d=r，点P在⊙O上； （3） d>r，点P在⊙O外．

其中⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．

2．直线与圆的位置关系判断

（1） d<r，直线l与⊙O相交；（2） d=r，直线l与⊙O相切；（3） d>r，直线l与⊙O相离．

其中⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

五．圆和扇形

1．用字母表示圆的周长，表示直径长，表示半径长，那么．

2．圆上任意两点之间的部分叫做弧．

3．设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是，那么．

4．设圆的半径长为，面积为，那么．

5．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．

6．设组成扇形的半径长为，圆心角度数为，弧长是，那么．

六．圆和圆的位置关系

（一）、相关定义：

1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．     

2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．

3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．

4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做

这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点．

5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆

心重合时，称它们为同心圆．

6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．

7．连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线．

（二）、两圆位置关系：

1．半径不等的两圆的位置关系：

半径不等的两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系可用、和之间的

数量关系表达，具体表达如下：

①两圆外离；

②两圆外切；

③两圆相交；

④两圆内切；

⑤两圆内含．

2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合．

（三）、相关定理：

1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

2．相切两圆的连心线经过切点．

七．正多边形和圆

1．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．

2．有条边的正多边形（是正整数，且）就称作正边形．

3．正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．

4．正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．

5．正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．

6．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．

八、计算公式

1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长．其中n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．

2．扇形面积公式：．其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长．

3．圆锥的侧面积公式：．其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径．

4．阴影部分面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．其主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

5．注意：（1）在弧长的计算公式中，①若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长；②题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示；③正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念．

（2）计算扇形面积时，有两个公式可供选择．已知扇形的圆心角度数与半径或扇形的弧长与半径都可以代入面积公式进行直接运算．

（3）①圆锥的母线与圆锥展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与圆锥展开后所得扇形的弧长相等．

真题再现

一、单选题

1．（2021·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

2．（2021·青海西宁·中考真题）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，连接，，，，，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．

3．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（       ）

A． B． C． D．

4．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，圆锥的左视图是边长为2的等边三角形，则此圆锥的高是（       ）

A．2 B．3 C． D．

5．（2021·四川德阳·中考真题）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

6．（2021·山东滨州·中考真题）如图，是的外接圆，CD是的直径．若，弦，则的值为（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·四川乐山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、两点，线段的中点为点，过点作轴的垂线，垂足为点．直线过原点和点．若直线上存在点，满足，则的值为（       ）

A． B．3或 C．或 D．3

9．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（       ）

A． B． C． D．

11．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（       ）

A．  B．

C．   D．

12．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（     ）

A．3 B． C． D．

13．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，，，以为圆心、长为半径画，点为菱形内一点，连接，，．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．

14．（2021·四川乐山·中考真题）如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（       ）

A．4 B． C． D．5

15．（2021·四川泸州·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．（2021·广东广州·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）．

17．（2021·江苏南通·中考真题）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．

18．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点．

（1）若正方形的边长为2，则的周长是______．

（2）下列结论：①；②若是的中点，则；③连接，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．

19．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．

20．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．

21．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________．

三、解答题

22．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与x轴的交点分别为H，K（点H在点K的左侧）．点F在线段上运动（不与点A、B重合），过点F作直线轴于点P，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接，是否存在点F，使是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，过点C作于点E，当的周长最大时，过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段的最大值和最小值．

23．（2021·湖南常德·中考真题）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．

（1）求证：；

（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．

①求证：；

②设与相交于点P，求证：．

24．（2021·福建·中考真题）如图，在正方形中，E，F为边上的两个三等分点，点A关于的对称点为，的延长线交于点G．

（1）求证：；

（2）求的大小；

（3）求证：．

25．（2021·青海西宁·中考真题）如图，内接于，，是的直径，交于点E，过点D作，交的延长线于点F，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）已知，，求的长．

26．（2021·山东日照·中考真题）如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．

（1）求对角线的长；

（2）求证：为矩形．

27．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF∠BOE．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．