2023 数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨01新定义问题

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疑难点拨01 新定义问题
考向分析
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近三年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。
新定义与材料理解一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念。这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。
考点详解
一、新定义问题认识
新定义问题大多来于教材、构思巧妙，情境创设和谐自然.有利于考查学生观察、分析、猜想、验证、推理等数学活动的能力;有利于调动学生自主探索、动手实践等操作活动的积极性;更能考查学生的阅读理解和语言转化能力，使解题过程变成一种科学研究的过程，已成为近年各地中考中最为重要的一种题型.
二、新定义
①函数类新定义
②距离类新定义
③几何类新定义
④与圆有关的新定义
三、条件探索型
条件探索型的基本特征是给出命题的结论，要求我们探索结论成立的条件，其一般的解法是从所给的结论出发，执果索因，寻求结论成立时应具备的条件，进而给予解答，思维方式是变换思维方向，逆向思维
四、判断型
判断型是指在某些题设条件下，判断数学对象是否具有某种性质，解题时通常先假设被探索的数学性质存在，并将其构造出来，再利用题设条件和数学结论将其肯定或否定。是否存在型这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象是否存在或成立，即在是与否之间做出选择，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提进行运算或推理。若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明。
五、知识精要
新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。
六、知识突破
解决此类题的关键是：深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
真题再现
一、单选题
1．（2022·广西·南宁二中七年级期末）规定一种新运算：，如．则的值是（       ）．
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】
根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．
【详解】
解：∵，
∴．
故选择C．
2．（2021·河南开封·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（       ）
A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】
根据新定义运算法则列方程，然后根据判别式△判断一元二次方程根的情况即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，
∴方程无实数根，即方程无实数根，
故选：A．
3．（2021·浙江绍兴·模拟预测）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形的边长为1，菱形的边水平放置，如果该菱形的高是宽的，那么菱形的宽是（       ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
先根据要求画图，设AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】
解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，
设AF=x，则CF=x，
在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，
由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，
12＝（x−1）2+（x）2，
解得：x=或0（舍），
则该菱形的宽是，
故选A．

4．（2021·安徽·一模）[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则下列说法正确的是                                                            （　　）
A．[2x]＝2[x] B．[－x]＝－[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．设函数y＝x－[x]，则0≤y＜1
【答案】D
【分析】
运用举反例法证明其错误，计算判断．
【详解】
当x=0.5时，[2x]＝[2×0.5]=[1]=1，2[x]=2×[0.5]=2×0=0，不相等，
∴A的说法不正确；
当x= -1.5时，[－x]＝[1.5]=1，－[x]=- [-1.5]=-（-2）=2，不相等，
∴B的说法不正确；
当x= 1.5，y=2.7时，[x＋y]= [1.5＋2.7= [4.2]=4，[x]＋[y]= [1.5]+ [2.7]=1+2=3，
∴[x＋y]＞[x]＋[y]，
∴C的说法不正确；
[x]表示不大于x的最大整数，∴x－[x]表示的x的小数部分，∴D正确，
故选D．
5．（2021·河南·三模）定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（       ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
利用新定义得到x2＋2kx−k2−1＝0，然后利用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac的关系可得△＞0，即可判断方程根的情况．
【详解】
解：由新定义得x2＋2kx−k2−1＝0，
∵△＝（2k）2−4×1×（−k2−1）＝8k2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
6．（2021·河南平顶山·二模）定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（       ）
A．当时，随增大而增大 B．函数图象经过点
C．函数图象位于第一、三象限 D．当时，
【答案】A
【分析】
根据题意可得，直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案即可．
【详解】
解：根据题意可得，是一个反比例函数，
∵
∴反比例函数经过二、四象限，当时，随增大而增大，故A选项正确；C选项错误；
∵，
∴反比例函数不经过点，故B选项错误；
在反比例函数中，当时，，故D选项错误；
故选：A．
7．（2021·河南驻马店·二模）对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（       ）
A．有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】
根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．
【详解】
解：根据题意：
，
由：，
故：，
即：，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（2021·甘肃武威·中考真题）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则（       ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】
先根据新定义，可得9m+4n=0，将整式去括号合并同类项化简得，然后整体代入计算即可．
【详解】
解：∵是“相随数对”，
∴，
整理得9m+4n=0，
．
故选择A．
9．（2021·江苏南京·二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形（如图），以下结论：
①；
②若，则；
③若，则；
④存在凹四边形，有．
其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】
根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．
【详解】
解：①如图1，连接AC并延长到点E．




即
所以结论①正确；
②如图2，连接BD，作直线AC．


∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．

所以结论②正确；
③如图③，

由①可知，
当时，有

因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．


当时，



∴AB∥CD，BC∥DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵平行四边形是凸四边形，
这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．
∴不存在凹四边形ABCD，使得
所以结论④错误．
故选：A
10．（2021·四川达州·一模）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝12，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（     ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】
根据题干中新的运算法则逐步将12计算到1即可得出答案．
【详解】
根据题意的运算法则运算依次如下： ，， ， ， ， ，， ， ．
故要想算出结果1，共需要经过的运算步数为9步．
故选A．
11．（2021·河南南阳·二模）对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（       ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
12．（2021·广西百色·一模）对于实数a、b定义新运算“”如下：，如，，若一元二次方程的两根为 (),则的 结果是（   ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】
求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：方程变形得：，
∵
∴解得：，，
∴
故选：C．
13．（2021·安徽铜陵·二模）定义：在的中，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即．则的值为（       ）．
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】
令∠A=45°，作BH⊥AC，垂足为H，分别用BH表示BC和AB，再根据邻弦的定义即可得出答案
【详解】
解：令∠A=45°如图，作BH⊥AC，垂足为H， 在Rt△BHC中，∠C=30°，
∴BC=2BH，

在Rt△BHA中，，
∴
∴
故选：C
14．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（       ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】
解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
15．（2021·湖北荆州·中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（       ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
二、填空题
16．（2022·四川成都·七年级期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为（m，n）．若（8，n）是“神奇数对”，且关于x的方程3x﹣6＝n与2x﹣1＝3k的解相等，则k的值为_____．
【答案】3
【分析】
由题意可得，求出n的值，即可求方程3x-6=n的解为x=5，再将x=5代入方程2x-1=3k，即可求k的值．
【详解】
解：∵（8，n）是“神奇数对”，
∴，
∴n=9，
∴3x-6=9，
∴x=5，
∵方程3x-6=n与2x-1=3k的解相等，
∴10-1=3k，
∴k=3，
故答案为：3．
17．（2021·山东济南·二模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为_____．
【答案】-1
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质，可以求得该函数的最大值，本题得以解决．
【详解】
解：当-x2+x+1≥-x-2时，可得-1≤x≤3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x-2，
∴当x=-1时，y=-x-2取得最大值，此时y=-1；
当-x2+x+1≤-x-2时，可得x≤-1或x≥3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x2+x+1=-（x- ）2+ ，
∴当x=-1时，y=-x2+x+1取得最大值，此时y=-1；
由上可得，该函数的最大值为-1，
故答案为：-1．
18．（2022·浙江杭州·七年级期末）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是____________．
①[3V（-2）]Λ4=4
②（aVb）Vc=aV（bVc）
③-（aVb）=（-a）Λ（-b）
④（aΛb）×c=acΛbc
【答案】②③##③②
【分析】
各式利用题中的新定义计算，判断即可．
【详解】
解：根据题中的新定义得：
①[3V（-2）]Λ4=3Λ4=3，不符合题意；
②（aVb）Vc=max{a，b，c}，
aV（bVc）=max{a，b，c}，
故（aVb）Vc=aV（bvc），符合题意；
③-（aVb）=-max{a，b}，
（-a）Λ（-b）=min{-a，-b}，
故-（aVb）=（-a）Λ（-b），符合题意；
④如果a=2，b=-2，c=-3，
（aΛb）×c=-2×（-3）=6，
acΛbc=（-4）Λ6=-4，
此时（aΛb）×c≠acΛbc，不符合题意．
故答案为：②③．
19．（2022·上海崇明·九年级期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在中，，点A在边BP上，点D在边CP上，如果，，，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为_____________．

【答案】13或12-或12+
【分析】
根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．
【详解】
解：如图，点D的位置如图所示：

①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；
②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，
过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，
设BE=x，
∵，
∴AE=x，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即x2+(x)2=132，
解得：x1=5，x2=-5（舍去），
∴BE=5，AE=12，
∴CE=BC-BE=6，

由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，
在Rt△AFD2中，FD2=，
∴CD2=CF-FD2=12-，
CD3=CF+FD2=12+，
综上所述，CD的长度为13、12-或12+．
故答案为：13、12-或12+．
20．（2022·北京门头沟·七年级期末）规定：符号“&”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，则（﹣4◎3）×（2&﹣5）的结果为__．
【答案】-15
【分析】
规定：符号“&”为选择两数中负数进行运算，“◎”为选择两数中非负数进行运算，得出原式＝3×（-5），再根据有理数乘法求出即可．
【详解】
解：因为符号“&”为选择两数中负数的运算，“◎”为选择两数中非负数的运算，
即（-4◎3）×（2&-5）＝3×（-5）＝-15．
故答案为：-15．
21．（2022·北京顺义·八年级期末）对于任意的正数，，定义运算“*”如下：，计算的结果为___________．
【答案】##
【分析】
根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第一种对应法则；48＜50，选第二种对应法则．
【详解】
解：∵
∴===
故答案为：．
22．（2022·山东·牡丹区实验中学七年级期末）根据需要，我们重新定义一种新的运算：当时，；当时，．例如：，那么：_________．
【答案】7
【分析】
根据所给新定义法则代入计算即可．
【详解】
解：由题意可得：
∵-3＜2，
∴，
故答案为：7．
23．（2022·河南·无七年级期中）已知a、b、c、d为有理数，先规定一种新的运算a*b＝a﹣ab＋a﹣1，那么3*2的值为______．
【答案】
【分析】
根据题目中定义的运算法则，将数代入运算即可求得答案．
【详解】
解：由题意可知：3*2，
故答案为：．
24．（2021·广西柳州·二模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是______________．
【答案】
【分析】
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】
解：根据题中的新定义化简得：
，
去分母得：
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
25．（2021·上海·中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

【答案】
【分析】
先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．
【详解】
解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，
最小，等于1，最大，等于．

∵，
∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
26．（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．

【答案】
【分析】
根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】
解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
27．（2021·湖北十堰·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【答案】或2
【分析】
根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】
解：根据新定义内容可得：，
整理可得，
解得，，
故答案为：或2．
28．（2021·山西阳泉·一模）定义：如图，点、点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点、点是线段的勾股分割点．已知点点是线段的勾股分割点，，则_____．

【答案】或
【分析】
①当MN为最长线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最长线段时，由勾股定理求出BN即可．
【详解】
解：当为最长线段时，
点是线段的勾股分割点，
；
当为最长线段时，
点是线段的勾股分割点，
．
综上所述：或．
故答案为：或．
29．（2021·广东深圳·二模）定义：x*y＝x－my，如2*3＝2－3m，已知1*2≤5，则m的取值范围是____________
【答案】m≥-2
【分析】
根据新定义1*2＝1-2m，再列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵1*2=1-2m，1*2≤5，
∴1-2m≤5，
解得m≥-2．
故答案为：m≥-2．
三、解答题
30．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点M是点A、B的“双减点”．
例如：，、当点满足，，则称点是点A、B的“双减点”．
(1)写出点，的“双减点”C的坐标；
(2)点，点，点是点E、F的“双减点”．求y与x之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，y与x之间的函数图象与y轴、x轴分别交于点A、C两点，B点坐标为，若点E在平面直角坐标系内，在直线AC上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】
（1）设，根据“双减点”的定义求解即可；
（2）根据“双减点”的定义求解可得表示的，消元求解即可；
（3）由y与x之间的函数关系式求出的坐标，可知是等腰三角形，根据菱形的性质，以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形时，有三种情况，如图所示，①为菱形的边长，则，作于，于，根据，求出的值，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得的值，证明，有，求出的值，进而得到的值，即可得到点坐标；②为菱形的对角线，则，可得点坐标；③为菱形的对角线，则，是线段的中点，进而可求点坐标．
(1)
解：设
由题意知，
∴．
(2)
解：由题意得，
解得
将代入中得
整理得y与x之间的函数关系式为．
(3)
解：存在．
∵
∴当时，，
当时，，
在中，由勾股定理得
∵
∴
由题意得，以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形时，有三种情况，如图所示，

①为菱形的边长，则，作于，于
∵即
解得
在中，由勾股定理得
∴，
∵
∴
∴即
解得，
∴
∴；
②为菱形的对角线，则
∴；
③为菱形的对角线，则
∵
∴是线段的中点
∴；
综上所述，直线AC上存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为菱形，F点的坐标为或 或 ．
31．（2022·湖北十堰·七年级期末）定义一种新运算．
(1)试求的值；
(2)若，求x的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】
（1）理解题中新运算的形式，将-5和2代入，在进行有理数混合运算即可；
（2）理解题中新运算的形式，将-3和（x-7）代入即可得出一元一次方程，再解方程即可．
(1)
解：


．
(2)
解：





．
32．（2022·浙江宁波·模拟预测）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．

(1)已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；
(2)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD是倍角梯形；
(3)如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．
【答案】(1)满足条件的∠D的度数为160°或130°；
(2)见解析；
(3)
【分析】
（1）利用平行线的性质可得，根据题目中倍角梯形的定义可得或，然后将两种情况分别进行讨论，利用各角之间的数量关系求解即可得；
（2）过点D作，交BC于点E，根据平行线的判定可得，由平行四边形的判定定理得出四边形ABED为平行四边形，根据其性质得出，，结合图形，由各线段间的数量关系进行等量代换可得，依据等边对等角可得，据此进行角度间的等量代换及倍角梯形的定义即可证明；
（3）过点A作交BC于点E，根据等边对等角可得，，依据平行四边形的判定和性质可得四边形AECD为平行四边形，，，设，则，由三角形内角和定理求解可得，利用相似三角形的判定和性质可得，，设，则，代入式子求解，由线段间的数量关系即可得出结果．
(1)
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是倍角梯形，
∴或，
若，则；
若，则，；
故所有满足条件的的度数为或；
(2)
证明：过点D作，交BC于点E，

∵，
∴，
∵，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是倍角梯形；
(3)
解：如图所示：过点A作交BC于点E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
∴．