2023 数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨02规律问题

疑难点拨02 规律问题

考向分析

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。

考点详解

规律探索题型一般可分为数的规律、式的规律、图形的规律、周期规律问题或与图形有关的操作变化过程的规律等类型；不管是哪种类型的规律问题，解决问题的实质性方法都大同小异，一个方向先将前三种、四种的结果呈现出来，通过结果发现规律；另一个方向是从前面几种结果的探索过程出现的一致性发现规律，我们简称为结果导向型和过程导向型。

一、数式规律型

数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律，式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位里的数量关系)，找出各部分的特征，写出符合条件的格式
二、图形变化类规律型

图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.

三、点的坐标规律型

此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键

四、数形结合规律型

数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”，还要有很强的“图形”意识.
五、规律探索型问题的解题技巧
   (1)利用特殊点、特殊图形、特殊位置等进行归纳、概括，从特殊到一般找规律，进而得出解决问题的方法；(2)当问题的结论不能唯一确定时，则需要按可能出现的情况加以分类讨论；(3)利用一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似的问题的结论或解决方法，并加以严密论证。

真题再现

一、单选题

1．（2021·山东·乳山市教学研究中心七年级期末）如图，一个机器人从坐标原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，……．按此规律走下去，当机器人走到A7点时，它的位置可表示为（        ）（单位长度为1米）

A．（-21，18）

B．（9，12）

C．（-12，12）

D．（-21，12）

2．（2020·福建·三明市列东中学八年级期中）如图所示，直线与y轴相交于点D，点A1在直线上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学九年级开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为　　

A． B．4 C． D．6

4．（2022·广西·环江毛南族自治县教研室七年级期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则的值是（       ）

A．55 B．66 C．76 D．110

5．（2022·全国·七年级）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（       ）

A．AD B．DC C．BC D．AB

6．（2021·河南平顶山·九年级期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（       ）

A．（）2018 B．（）2019

C．（）2018 D．（）2019

7．（2021·河北·邯郸市汉光中学七年级期中）定义一种对正整数的“F”运算：①当n为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）.两种运算交替重复进行，例如，取，则第1次“”运算为，第2次“”运算为，第3次“”运算为…若，则第2021次“”运算的结果为（       ）

A．1 B．4 C．2021 D．

8．（2022·湖北随州·七年级期末）如图，下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图中黑色正方形的个数是（     ）

A． B． C． D．

9．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）找出以下图形变化的规律，则第 2022 个图形中黑色正方形的数量是（ ）

A．3030 B．3031 C．3032 D．3033

10．（2022·山东淄博·期末）按一定的规律排列的一组数：，，，，…，，，…（其中a，b为整数）．则的值为（       ）

A．212 B．222 C．232 D．182

11．（2022·福建泉州·七年级期末）在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（        ）

A．128 B．120 C．112 D．102

12．（2022·山东泰安·九年级期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为90°的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（       ）

A． B． C． D．

13．（2022·北京大兴·七年级期末）如图所示，用火柴棍按如下规律拼图，若第①个图形需要4根火柴棍，则第⑩个图形需要的火柴棍根数为（       ）

A．110 B．180 C．220 D．264

14．（2021·云南昭通·七年级期中）如图，下列图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数为（       ）

A．30 B．41 C．31 D．40

15．（2021·辽宁丹东·七年级期中）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则搭建7顶这样的帐篷需要（       ）根钢管．

A．83 B．94 C．102 D．119

二、填空题

16．（2021·山东泰安·模拟预测）根据表中数字的规律，则代数式的值是 __．

17．（2021·山东济南·八年级期中）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；已知，是的差倒数，是的差倒数，……以此类推，则____________．

18．（2022·广东广州·七年级期末）一组数1，3，5，7，9，…，用含有n的式子表示这组数中的第n个数：_____．

19．（2022·山东青岛·期末）为庆祝国庆节，七年级小高同学用五角星按一定规律摆出如下图案，则第9个图案需五角星的颗数为______．

20．（2022·湖南郴州·七年级期末）如图是按一定规律摆放的图案，按此规律，第2021个图案与第1～4个图案中相同的是第___个．（只填数字）

21．（2022·宁夏中宁县第三中学七年级期末）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第21个图案需要棋子_______枚．

22．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点的坐标为________．

23．（2021·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 __．

24．（2021·广东·二模）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣2，1），过点A作，交x轴于B1，过点B1作A1B1⊥x轴交直线AC于A1，过点A1作直线，交x轴于B2，过点B2作A2B2⊥x轴交直线AC于A2，……，则A2021的坐标是 __________________．

25．（2022·山东·青岛大学附属中学八年级期末）在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________．

三、解答题

26．（2022·广东佛山·七年级期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，……排成如图所示的数表．

(1)写出数表所表示的规律；（至少写出4个）

(2)若将方框上下左右移动，可框住另外的9个数．若9个数之和等于297，求方框里中间数是多少？

27．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：

以为例，设，

由，可知，所以，解得，于是．

(1)请把无限循环小数化为分数是__________；

(2)请把无限循环小数化为分数；

(3)将与的积化为小数，则小数点后第999位数字是__________．

28．（2021·北京四中七年级期中）几位同学（人数至少为3）围在一起做传数游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”．游戏规则是：同学1心里先想好一个整数a，将这个数乘以2再加1后传给同学2，同学2把同学1告诉他的数除以2再减0.5后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘以2再加1后传给同学4，同学4把同学3告诉他的数除以2再减0.5后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6，……，按照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止．

（1）若只有同学1，同学2，同学3做“传数”游戏．

①同学1心里想好的数是3，则同学3的“传数”是 ；

②这三个同学的“传数”之和为37，则同学1心里先想好的数是            ；

（2）若有n位同学做“传数”游戏，这n位同学的“传数”之和为，求同学1心里先想好的整数a．