2023 数学新中考二轮复习热点透析 疑难点拨04胡不归

疑难点拨04 胡不归

考向分析

从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图），而忽视了走折线路径 A→D→B 虽路程多但速度快的实际情况， 当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着"胡不归?胡不归?

在该故事中，我们的几何图形不再是简单的线和点，而是赋予了实际的意义，AB所经过的砂砾之路肯定会比AD所在的大路要速度慢一些，因此考虑最短时间时要去考虑一下速度的问题

古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归题”， “阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中。

考点详解

一、胡不归模型破解术

①模型特点：胡不归在中考中常以求PA+k∙PB最小值的形式而出现

②例题：如图，已知D为射线AB上依动点，∠BAC=30°，AC=23，AD=        时，CD+12AD取最小值为     。

要想求出CD+12AD的最小值，则需在图中先体现出12AD和CD+12AD，然后再研究最值

而胡不归问题中构造12AD的方法是利用三角函数，例如如果我们以AD为斜边构造一个30°角的直角三角形，那么依据30°的正弦则可得出30°角的对边就是AD的一半，下面我们来实操一下

首先我们以AD为斜边，以A为顶点，往AD的下面做一个30°角

然后我们过D作辅助线的垂线DE

由30°的正弦可得，DE=12AD，则该题求的就是CD+DE的最小值

最终最小值为过C作辅助线的垂线段CF的长度

CF=AC∙sin∠CAF=23×32=3

二、解题思想方法

1.常见的这类问题，采用的解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者是点到直线之间的距离垂线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号），此类问题可以总结为：化折为直，化直为垂。

2.对于星型分布的三条线段，都是先做旋转变换，我们把有公共端点的三条线段称为星型摆放的线段，通过旋转60°产生等边三角形，从而将星型摆放的线段转化成首尾相连的线段，然后再利用两点之间线段最短，此类问题可以总结为：化星为折，化折为直。如果有动点出现，后面再加上化直为垂。
3.有些题目需要先做平移变换，把两条分离的线段首尾相接起来，然后再利用两点之间线段最短，此类问题被称为沿河饮马问题。

4.有些题目是先找出动点的轨迹，这种题目的轨迹是一条直线，然后再做轴对称变换，将这条直线同侧的两条线段转化到两侧去，最后再利用两点之间线段最短解决问题，此类问题被称为隐形将军饮马问题。

5.有些题目是先通过构造全等三角形，将两条线段重新拼接，再利用相似找出新图形之间的线段关系，利用两点之间线段最短解决问题。

真题再现

一、填空题

1．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．

2．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．

3．（2021·四川·成都市树德实验中学八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，AC＝4，则△ABC的面积为_；点D，点E，点F分别为BC，AB，AC上的动点，连接DE，EF，FD，则△DEF的周长最小值为_．

4．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．

5．（2021·全国·九年级练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．

二、解答题

6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．

(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；

(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．

(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．

7．（2022·全国·九年级练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．

(1)求证：△ABE≌△CBF．

(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）

(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．

8．（2021·四川·达州市第一中学校九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．

（1）求的值；

（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；

（3）求的最小值．

9．（2019·四川绵阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

10．（2019·湖南张家界·中考真题）已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

11．（2019·重庆·中考真题）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2019·天津·中考真题）已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

13．（2021·全国·九年级练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．

（1）求△ABC的面积；

（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．

14．（2021·全国·九年级练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．

（1）求直线l2的解析式；

（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值．

15．（2021·全国·九年级练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；

（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值．