2022-2023学年山东省烟台市烟台第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

高一期末数学卷

一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 记，那么

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】,

,从而，

，

那么，

故选B．

2. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（）倍.

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，

则有，即，

所以所求结果倍.

故选：A

3. 已知，，则（）

A.  B. 1 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示，可得答案.

【详解】由换底公式，，则.

因，则

则.

故选：B

4. 函数在以下哪个区间内一定存在零点（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据零点的存在性定理判断即可.

【详解】函数定义域为，排除A；

又，

，

，

根据零点存在性定理可得函数在内一定存在零点

故选：D

5. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，即可得到结论.

【详解】解：设半径为，所以．所以，所以弧长．

故选：A．

6. 若，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用切化弦化简技巧结合可得出，再由可得出，，再由可计算出的值.

【详解】因为，所以，

，则，，.

所以，所以，

故选：A.

【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

7. 已知函数，若函数只有两个零点，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求解为0时的值，可得只有两个零点，再根据分析可得无解，进而求得的取值范围即可.

【详解】由题意，即或.因，易得无解.故只有两个零点.

当时，或，解得或有两个零点.故无解. 因为，，故，解得

故选：D

8. 已知定义在上奇函数满足，当时，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由奇函数满足，推导出，得到函数的周期为4，由，结合函数的周期性和奇偶性，得到.

【详解】因为为奇函数

所以，

又，

∴，

将替换为得：，即，

故，

所以的周期，

因为，所以，

则，

则

故选：B．

二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知直线是函数图象的一条对称轴，则（）

A. 是偶函数 B. 是图象的一条对称轴

C. 在上单调递减 D. 当时，函数取得最小值

【答案】AC

【解析】

【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出，D错误.

【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴，

所以，，

又，所以，所以．

，是偶函数，故A正确；

令，解得:，

所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；

当时，，此时函数单调递减，故C正确；

显然函数的最小值为，当时，，故D错误．

故选：AC．

10. 已知0<b<a<1，c>1，则下列各式中不成立的是（）

A. ab<ba B. cb>ca

C. logac>logbc D. blogca>alogcb

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性即可判断.

【详解】由于0<b<a<1，c>1，根据指数函数与幂函数的单调性有ab>aa>ba，故选项A错误，符合题意；

根据指数函数单调性有cb<ca，故选项B错误，符合题意；

，，，则，

由于反比例函数在上为减函数，则，

，则，所以，，即，故选项C错误，符合题意；

因为ab>ba，c>1，则logcab>logcba，即blogca>alogcb，故选项D正确，不符合题意．

故选：ABC.

11. 已知函数（，为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）

A. 方程至多有2个不同的实数根

B. 方程可能没有实数根

C. 当时，对，总有成立

D. 当，方程有4个不同的实数根

【答案】ACD

【解析】

【分析】对进行分类讨论，结合方程的根，函数单调性等知识得出答案．

【详解】由，得；由，得．

当时，方程没有实数根；方程有1个实数根，所以方程有1个实数根；

当时，方程有1个实数根；方程有1个实数根，所以方程有2个不同的实数根；

当时，方程有1个实数根；方程没有实数根，所以方程有1个实数根，

所以方程至多有2个不同的实数根，至少有1个实数根，故A正确，B错误；

当时，是增函数，是增函数，

且，，

所以在上单调递增，即，总有成立，故C正确；

当时，，此时由得或，

所以由得或，

由，解得；

由，因，所以，解得，，

所以当时，方程有4个不同的实数根，故D正确，

故选：ACD．

12. 如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为，质点A以的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）

A. 时，的弧度数为 B. 时，扇形的弧长为

C. 时，扇形的面积为 D. 时，A，B在单位圆上第一次相遇

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，弧长公式及扇形面积公式，逐项分析即得答案.

【详解】时，质点A按逆时针运动方向运动，质点B按顺时针方向运动，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；

时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的弧长为，故B正确；

时，∠BOA的弧度数为，故扇形AOB的面积为，故C错误；

设时，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得，故D错误.

故选：AB.

三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数的图像恒过定点，若点也在函数的图像上，则__________．

【答案】1

【解析】

【分析】首先确定点A的坐标，然后求解函数的解析式，最后求解的值即可.

【详解】令可得，此时，

据此可知点A的坐标为，

点在函数的图像上，故，解得：，

函数的解析式为，则.

【点睛】本题主要考查函数恒过定点问题，指数运算法则，对数运算法则等知识，意在考学生的转化能力和计算求解能力.

14. 已知，则x＝___．

【答案】100

【解析】

【分析】直接根据对数的运算即可得结果.

【详解】因为，所以，

即，所以，

故答案为：100.

15. 已知钝角终边上一点的坐标为，则________.

【答案】

【解析】

【分析】先根据任意角三角函数定义得到，再结合诱导公式及角的范围得到的值.

【详解】因为，又因为角为钝角，所以.

故答案为：

16. 已知函数 在 上单调递增，则的最大值是____.

【答案】4

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.

【详解】由函数在区间上单调递增，

可得 ，求得，故的最大值为，

故答案为：4

四．解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：（1）

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】结合指数与对数的运算法则和换底公式即可.

【详解】(1)原式，

(2)原式．

18. 在平面直角坐标系中，角的顶点坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点．

（1）求的值;

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；（2）根据诱导公式化简求值.

【小问1详解】

由题知角终边经过点，则，

∴，，

故.

【小问2详解】

由(1)知，

则，

故.

19. 已知函数

（1）求函数的单调递减区间，以及对称轴方程；

（2）若，当时，的最大值为5，最小值为，求实数a，b的值．

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

【分析】（1）结合正弦函数性质，由整体法列式即可；

（2）先求出的值域，讨论一次函数的最值即可.

【小问1详解】

的单调递减区间满足，解得，

即单调递减区间是；

的对称轴方程满足，解得，

即函数对称轴方程为.

【小问2详解】

当时，，则，

即，又的最大值为5，最小值为，

则或，解得或.

20. 已知函数．

（1）求函数的对称中心；

（2）函数在内是否存在单调增区间？若存在请说明原因并写出递增区间．若不存在，说明理由；

（3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围；

【答案】（1），

（2）存在，，理由见解析

（3）．

【解析】

【分析】（1）直接令，解出即可得到对称中心；

（2）利用整体法得到，则，解出即可；

（3），求出函数的值域，则根据.

【小问1详解】

对于函数，令，，

解得，

可得函数的对称中心为，．

【小问2详解】

当，有，

当2x∈时，函数单调递增，故函数在内，存在单调增区间．

由，求得，可得函数的增区间为．

【小问3详解】

若，都有恒成立，

当，有，

故当，即时，函数的最大值为2，

当，即时，函数的最小值为，

∴，故实数m的取值范围为．

21. 某产品近日开始上市，通过市场调查，得到该产品每1件的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该产品的市场价y与上市时间x的变化关系，并简要说明你选取的理由；①②③

（2）利用你选取的函数，求该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；

（3）设你所选取的函数为，若对任意实数k，关于x的方程恒有两个相异实数根，求实数m的取值范围.

【答案】（1）

（2）该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；

（3）.

【解析】

【分析】（1）随着时间的增加，的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论；

（2）把点代入中，求出函数的解析式，利用配方法，即可求出该产品市场价最低时的上市天数以及最低的价格；

（3）由（2）结合题意可得有两个相异的实根，然后由可求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

因为随着时间的增加，的值先减后增，而所给的函数中和都是单调函数，不满足题意，

所以选择

【小问2详解】

把点代入中，得

，

解得，

所以，

所以当时，有最小值26，

所以当该产品上市20天时市场价最低，最低的价格为26元；

【小问3详解】

由（2）可知，

所以由，得

，

即，

因为方程有两个相异实数根，

所以，

所以，

因为对任意实数k，上式恒成立，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为.

22. 设函数（且）是定义域为的奇函数．

（1）求实数k的值；

（2）若，，且当时，恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数性质得；

（2）由若得出，确定表达式，参变量分离即可.

【小问1详解】

函数（且）是定义域为的奇函数,则，

所以，

又时，，对任意的，都有成立，满足题意，

所以；

【小问2详解】

由（1）知，，且，

所以，，

所以，或（舍），

令，则，

由当时，恒成立，得在时恒成立，

则在时恒成立，

又在上单调递增，

所以，，

所以，.