特训02 二次函数解答压轴题-2022-2023学年九年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训02 二次函数解答压轴题

一、解答题

1．（2022·江苏南通·九年级期中）已知二次函数为常数，且．

(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的式子表示）；

(2)若，当时，的最大值是2，且当时，该函数图象的最高点为，最低点为，求的面积为原点）；

(3)若，，三点都在该函数图象上，探究：是否存在实数，使得总成立？若存在，试直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．

2．（2022·江苏·景山中学九年级期中）我们不妨约定在二次函数中，若，则把该函数称之为“景山函数”，根据该约定，完成下列各题．

(1)下列函数是“景山函数”的是______；

①；②；③

(2)求证：“景山函数”与直线总有两个不同的交点．

(3)已知“景山函数”与直线相交于A、B两点，P是“景山函数”上的一个动点，并在直线的下方，求面积的最大值．

3．（2022·江苏·盐城市初级中学一模）已知抛物线为常数且与轴交于点．

(1)点的坐标为 　　；对称轴为 　　（用含的代数式表示）；

(2)无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 　　；

(3)若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；

(4)将点A与点B之间的函数图象记作图象（包含点A、B，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值．

4．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学九年级阶段练习）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点(﹣1，﹣1)是函数y＝4x+3图象的“1倍点”，点(﹣，﹣3)是函数y＝4x+3图象的“2倍点”．

(1)函数y＝x2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；

(2)若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“1倍点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时，求：

①c的取值范围；

②直接写出∠EMN的度数．

5．（2022·江苏·苏州市第十六中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，，，以，为邻边构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点．

(1)求，的长（结果均用含的代数式表示）．

(2)当时，求该抛物线的表达式．

(3)在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值．

6．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级期中）如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点在轴正半轴上，直线：与抛物线交于点．

(1)求线段的长度；

(2)如图，点Р是线段上的动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值；

(3)如图3，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点M，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

7．（2022·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）如图1，直线l：y＝kx+b（k＜0，b＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线．

(1)已知直线l1：，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；

(2)如图2，若直线l3：y＝kx+4（k＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若；

①求直线l3的关联抛物线W3的表达式；

②若点E在直线上运动，抛物线W3上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的条件下，将直线绕着点旋转得到新的直线，若点，与点，分别是抛物线与直线上的点，当时，，请直接写出的取值范围．

8．（2021·江苏·连云港市新海初级中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程：

(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

9．（2021·江苏·连云港外国语学校九年级阶段练习）如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2022·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标．

(3)在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．

11．（2022·江苏·南京外国语学校九年级阶段练习）已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．

(1)试判断点C与⊙D的位置关系；

(2)直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；

(3)在抛物线上是否存在一点E，能使四边形为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2022·江苏·连云港市新海初级中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．

(1)抛物线的表达式为           ，它的顶点坐标为           ；

(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点O成中心对称，抛物线的表达式为           ；

(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线和抛物线上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形面积的最大值．

13．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．

(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．

(2)如图②过C、D两点分别作轴交直线AB于C'，D'，当CDAB时，

①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．

②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．

14．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）如图，已知A（﹣2，0）、B（3，0），抛物线y＝ax2＋bx＋4经过A、B两点，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为点N．

(1)直接写出抛物线的函数关系式        ；

(2)请用含m的代数式表示线段PN的长        ；

(3)连接PC，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCN＝90°？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；

(4)连接AQ，若△ACQ为等腰三角形，请直接写出m的值        ．

15．（2022·江苏镇江·中考真题）一次函数的图像与轴交于点，二次函数的图像经过点、原点和一次函数图像上的点．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)如图1，一次函数与二次函数的图像交于点、（），过点作直线轴于点，过点作直线轴，过点作于点．

①_________，_________（分别用含的代数式表示）；

②证明：；

(3)如图2，二次函数的图像是由二次函数的图像平移后得到的，且与一次函数的图像交于点、（点在点的左侧），过点作直线轴，过点作直线轴，设平移后点、的对应点分别为、，过点作于点，过点作于点．

①与相等吗？请说明你的理由；

②若，求的值．

16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标．

(3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标．

17．（2022·江苏·九年级专题练习）如图抛物线(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，若点A坐标为(﹣2,0)，点C坐标为(0,4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图1中作出这样的点P，并直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

18．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A点B点的左边），与轴交于点．直线与抛物线交于A、D两点，与轴交于点E，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式与、两点坐标；

(2)若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；

(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．

19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；

(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2022·江苏泰州·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数 y=x2−2mx+m2−1 的图像为抛物线C，一次函数y=kx+3（k≠0）的图像为直线l．

(1)求抛物线C的顶点坐标；（用含m的式子表示）

(2)若点 （m−1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线C上，则y1，y2，y3的大小关系为       ；

(3)①当m>0时，若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在y轴上，求k的值；

②当k=1时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交点，其中在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．

21．（2022·江苏淮安·二模）二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．

(1)二次函数的表达式为________，点的坐标为_________；

(2)如图①，是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标；

(3)如图②，是直线上方的二次函数图像上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为时，求点的坐标．

(4)连接，是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的、两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标．

22．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，直线：与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；

(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点，将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）．

23．（2022·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD．

(1)填空：______；

(2)将平移到（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；

(3)设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T．若，求与的面积之比．

24．（2022·江苏南通·二模）对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足（m，n为实数，）时，函数y有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数．

(1)当，时，在①；②中，______是理想函数；

(2)当时，反比例函数是理想函数，求实数m的值；

(3)已知二次函数是理想函数，且最大值为2m+4．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为C，，是图象C上两个不同的点．若，求证：．

25．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且．

(1)请直接写出，两点的坐标：______，______；

(2)当顶点与点关于轴对称时，．

①求此时抛物线的函数表达式；

②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L：与x轴相交于A，B两点，与一次函数相交于点A和点C．

(1)求点A、B、C三点的坐标；

(2)点P是抛物线上的一动点且在直线AC的上方，过点P作x轴垂线交直线AC于点D，当点P运动到什么位置时，线段PD的长度最大？求出此时点P的坐标和线段PD的最大值；

(3)将抛物线L：的图像向下平移得到新的抛物线，直线AC与抛物线交于M，N两点，满足，在抛物线上有且仅有三个点，，使得△，△，的面积均为定值S，求出定值S及，，的坐标．