九年级下册数学知识梳理（本学期汇编）-2022-2023学年九年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

苏科版九年级下册数学知识梳理汇编（第5-8章）

第5章 二次函数 知识梳理

1. 二次函数定义：如果y＝x2＋bx＋c(，b，c为常数，≠0)，那么y叫做x的二次函数    

2. 二次函数的图象：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线

   抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

   ①决定抛物线的开口方向：

   当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

   ②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.

   ③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、

   开口大小完全相同，只是顶点的位置不同

   求抛物线的顶点、对称轴：

   ∴顶点坐标对称轴是直线

3. 二次函数的性质

   二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：

4. 二次函数y=x2+bx+c（≠0）的系数，b，c，△与抛物线的关系

5. 用待定系数法求二次函数的解析式：

   (1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值（待定系数法），通常选择一般式.

   (2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

   (3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

6. 直线与抛物线的交点

   (1)轴与抛物线得交点为()

   (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

   (3)抛物线与轴的交点

   二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程

   的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

   ①有两个交点抛物线与轴相交；

   ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；

   ③没有交点抛物线与轴相离.

   (4)平行于轴的直线与抛物线的交点

   同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐

   标为，则横坐标是的两个实数根.

   (5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组

   的解的数目来确定：

   ①方程组有两组不同的解时与有两个交点;

   ②方程组只有一组解时与只有一个交点；

   ③方程组无解时与没有交点.

   (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，

   由于，是方程的两个根，故，

第6章 图形的相似 知识梳理

一、比例线段及黄金分割

1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点：

（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）．

2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．

3. 黄金矩形与黄金三角形：

黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.

黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．

黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．

二、相似图形

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).

要点：

(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.

2.相似多边形

各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形．

要点：

（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

三、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.

判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.

要点：

　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.

要点：

　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

四、图形的位似

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点：

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3. 作位似图形的步骤

　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：顺次连接各对应点.

要点：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

五、用相似三角形解决问题

1.平行投影

在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

　  (3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

　　即：

　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

2.中心投影

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

　　(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

第7章 锐角三角函数 知识梳理

一、锐角三角函数

1.正弦、余弦、正切的定义

　　如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.

　　   (2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.

　　(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.

　　要点：

　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

　　(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，

　 　　但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.

　　(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.

　　(4)三角函数有时还可以表示成等.

2.锐角三角函数的定义

　　锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.

要点：

　　1. 函数值的取值范围

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

　　2．锐角三角函数之间的关系：

　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，

那么：sinA=cosB； cosA=sinB；

　　同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

　　3.30°、45°、60°角的三角函数值

　　30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.

二、解直角三角形

　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；

　　边边关系：勾股定理，即；

　　边角关系：锐角三角函数，即

要点：

　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：

　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；

　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

三、解直角三角形的应用

　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.

1.解这类问题的一般过程

　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.

　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.

　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.

　　2.常见应用问题

　　(1)坡度：； 坡角:.

　　(2)方位角：

　　(3)仰角与俯角：

要点：

1．解直角三角形的常见类型及解法

2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．

　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

3．锐角三角函数的应用

　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.

　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：

　　　　∵

　　　　∴

　　　　∵

　　　　∴

　　　　∵

　　　　∴

动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

第8章 统计和概率的简单应用 知识梳理

一、统计调查

1.调查的相关概念

总体：调查时，所要考察对象的全体叫做总体.

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体.

样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本.

样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（不带单位）.

要点：

(1)“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如果考察的是这个班学生的身高，那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体是总体．

(2)样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本在一定程度上能够反映总体，为了使样本能较好地反映总体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性和广泛性．

(3)样本容量是一个数字，没有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越准确，在实际研究中，要根据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从5万名考生的数学成绩中抽取2000名考生的数学成绩进行分析”，样本是“2000名考生的数学成绩”，而样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000名考生”或“2000名”．

2.普查和抽样调查

（1）普查

为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查．

要点：

 ① 普查又叫“全面调查”，它是指在统计的过程中，为了某种特定的目的而对所有考察的对象一一做出的调查.

    ②一般来说，普查能够得到全体被调查对象的全面、准确的信息，但有时总体中的个体的数目非常大，普查的工作量太大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普查．

（2）抽样调查

从总体中抽取样本进行调查，然后根据样本来估计总体的相应特性，这种调查方式称为抽样调查．

为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.

要点：

①抽样调查的优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力，但调查的结果往往不如普查得到的结果准确．

②抽样调查的注意点：1.随机取样；2.取样具有代表性；3.若样本由具有明显不同特征的部分组成，应按比例从各部分抽样.

二、调查方法

1.调查方法的选择

普查是对考查对象的全体调查，它要求对考查范围内所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.

在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.

2.调查问卷

调查、收集数据，应先设计调查问卷. 调查问卷通常包括调查目的、调查对象、调查内容和问题.

一般地，设计问题应简单明确，提出的问题不能带有个人观点，供选择的答案应尽可能全面.

要点：

    调查问卷的设计原则：

　  1.有明确的主题.根据主题，从实际出发拟题，问题目的明确，重点突出，没有可有可无的问题.

　　2.结构合理、逻辑性强.问题的排列应有一定的逻辑顺序，符合应答者的思维程序.一般是先易后难、先简后繁、先具体后抽象.

　　3.通俗易懂.问卷应使应答者一目了然，并愿意如实回答.问卷中语气要亲切，符合应答者的理解能力和认识能力，避免使用专业术语.对敏感性问题采取一定的技巧调查，使问卷具有合理性和可答性，避免主观性和暗示性，以免答案失真.

　　4.控制问卷的长度.回答问卷的时间控制在20分钟左右，问卷中既不浪费一个问句，也不遗漏一个问句.

　　5.便于资料的校验、整理和统计.

3.简单随机抽样

    一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本（n＜N），且每一次抽取样本时总体中的各个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样.

抽签法简便易行，当总体的个数不多时，宜采用这种方法进行简单随机抽样.

当总体容量很大时，我们可以采用科学计算器（或计算机）产生随机数的方法进行简单随机抽样.通常，科学计算器都有随机函数RAND功能，它可以产生0—1之间的随机数；有些科学计算器还提供了随机函数RANDI功能，它可以产生任意两个整数之间的随机整数.

要点：

简单随机抽样必须具备下列特点：

（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的；

（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；

（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的；

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样；

（5）简单随机抽样的每个个体被抽中的可能性均为.

三、数据的收集和整理

统计表和统计图：

    统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据；

    统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化．

要点：

（1）条形统计图：用线段长度表示数据，根据数据的多少画成长短不同的长方形直条，然后按顺序把这些直条排列起来，条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．

（2）扇形统计图：用整个圆表示总体，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量，从扇形上可清楚地看出各部分量和总数量之间的关系，但不能直接表示出各个项目的具体数据．

（3）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，但不能清楚地反映数据的分布情况．

四、频率与概率

1.定义

    频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.

概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.

2.频率与概率的关系

事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.

要点：

（1）频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复实验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；

（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；

（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.

五、用列举法求概率

常用的列举法有两种：树状图法和列表法.

1.树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点：

(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

2.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

要点：

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

3.用列举法求概率的一般步骤

（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；

（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；

（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=

三、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.

要点：

用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.