2022-2023学年安徽省阜阳市颍州区红旗中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年安徽省阜阳市颍州区红旗中学高二（上）期末数学试卷

1.  抛物线的焦点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等比数列的各项均为正数，且，则(    )

A. 7 B. 9 C. 81 D. 3

3.  如图所示，在正方体中，点F是侧面的中心，设，则(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知数列满足，且，则(    )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5.  在锐角中，，，，则以B，C为两个焦点且过点A的双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 3 D.

6.  中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知圆M：，过点的直线，，…被该圆M截得的弦长依次为，，⋯，，若，，⋯，是公差为的等差数列，则n的最大值是(    )

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

8.  已知数列满足…，设，则数列的前2022项和为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知向量，，，则(    )

A.  B.
C.  D. 向量

10.  数列的前n项和为，已知，则下列说法正确的是(    )

A. 是递增数列 B.
C. 当时， D. 当或4时，取得最大值

11.  若P，Q分别为：，：上的动点，且满足：，则下面正确的有(    )

A.
B.
C. 当c确定时，有最小值，没有最大值
D. 当的最小值为3时，

12.  我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有(    )

A. ，，为等比数列
B.
C. 轴，且
D. 四边形的内切圆过焦点，

13.  已知方程表示双曲线，则实数k的取值范围为______.

14.  已知数列中，，则______.

15.  如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.

16.  在数列中，，，，则的前2022项和为______.

17.  已知中，，
求BC边所在直线的方程；
直线过定点，设该定点为A，求的面积．

18.  已知等差数列的前n项和为，公差，且满足，，，成等比数列．
求；
求数列的前30项和．

19.  如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：及点，
若直线l过点B，与圆C相交于M、N两点，且，求直线l的方程；
圆C上是否存在点P，使得成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．

20.  在正方体中，如图E、F分别是，CD的中点．
求证：平面ADE；
点到平面ADE的距离．

21.  已知数列的前n项和为，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设数列的前n项和，求证：

22.  设抛物线C：的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为
求抛物线C的标准方程；
动直线l过点，且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称点Q与点N不重合，求证：直线QN恒过定点．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：将抛物线方程化为标准形式：，
由抛物线定义知焦点坐标
故选：
将曲线方程化为标准形式，结合定义即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：依题意可得，
又，所以，
所以
故选：
根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：在正方体中，F是侧面的中心，
为的中点，
，
，
故选：
根据棱柱的结构特征和空间向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和空间向量的线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：数列满足，且，
，解得，
，解得，
，解得
则
故选：
利用递推公式依次求出数列的前4项，由此能求出
本题考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：在锐角中，，，，
则，即，
解得或，
经检验，
所以在以B，C为两个焦点且过点A的双曲线中，，，则，，
所以其离心率为
故选：
先利用余弦定理求出AC，再根据双曲线的定义及离心率公式即可得解．
本题考查双曲线的性质以及余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：根据题意得，该马第n天走的里程数为公比为的等比数列，
设第一天行走路程为
则，得，
故该马第六天走里路．
故选：
依题意可得该马第n天走的里程数构成公比为的等比数列，根据等比数列求和公式求出，再根据等比数列通项公式计算可得．
本题考查将实际问题转化为等比数列问题的能力以及等比数列的求和公式，属于中档题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：由圆的方程，得，
圆心坐标，半径，
由圆的性质可知，过点的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，
最小值为过P且垂直于MP的弦的弦长，
，
最短的弦长为，
根据题意，，，⋯，是公差为的等差数列，为递增数列，
所以，，，
又，所以，
解得，
故选：
根据圆的几何性质可求得最长的弦长为6，最短的弦长为2，由此可得，，，根据等差数列的通项公式计算可得n的值．
本题考查了圆的几何性质，考查了等差数列的通项公式，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由…，
可得时，；
当时，由…，可得…，
上面两式相减可得，
上式对也成立，即，
所以，
则，
所以数列的前2022项和为

故选：
根据题意先求出，即可求出，则可写出的通项公式，再利用裂项相消即可求出答案．
本题考查数列的递推式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：，，
则，，，故A正确，C错误；
，，
则，故B正确；
，，
不存在使得，故D错误．
故选：
对于A，结合向量模公式，即可求解；
对于B，结合向量的线性运算，即可求解；
对于C，结合向量的数量积公式，即可求解；
对于D，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量模公式，向量的线性运算，向量的数量积公式，属于基础题．
 

10.【答案】CD 

【解析】解：当时，，又，
所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而n是正整数，且或4距离对称轴一样远，
所以当或4时，取得最大值，故D正确．
故选：
根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误，结合二次函数的性质，可判断D的正误．
本题主要考查了数列的递推式和等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：，
，，
，，故A，B正确，
的最小值为，之间的距离，
又，
，之间的距离，
当c确定时，有最小值为，没有最大值，故C正确，
当时，则有或，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，以及两平行线间的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，以及两平行线间的距离公式，属于基础题．
 

12.【答案】BD 

【解析】解：A中若成等比数列则，即或舍，解得：，所以A不正确；
B若，则由射影定理可得：，
即，所以，即，，
解得；所以B正确；
C若轴，如图可得，又，则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，
所以，所以C不正确；
D，因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，
圆心到直线的距离等于c，
因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，
由题意知：，又，整理得：，，，
解得，
所以，所以D正确，
故选：
对每个命题如果是正确的求出各个命题所在的椭圆的离心率即可．
考查椭圆的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
所以实数k的取值范围为
故答案为：
根据方程为双曲线，可得，解不等式即可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，，，
数列为周期数列，最小正周期为3，
则，
故答案为：
根据数列的递推式求出，，，可得数列为周期数列，最小正周期为3，结合，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在正三棱柱中，建立以A为原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，为z轴的空间直角坐标系，如图所示：
在正三棱柱中，，，
则，
则 ，，
设异面直线与所成角为
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故答案为：
根据棱柱的结构特征，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查异面直线的夹角和棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】1015 

【解析】解：，令，则，故，
当n为偶数时，则，，
；
当n为奇数时，则，，
；
设数列的前n项和，
则，
故答案为：
分类讨论n为偶数、n为奇数，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
的斜率为，
边所在直线方程为，即；
直线可化为，
该直线过定点，
到BC边所在直线的距离，
又，
的面积为 

【解析】先计算直线BC的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求解；
先求出定点，然后利用点到直线距离公式求出点A到直线BC的距离，再求出BC的长，从而可计算出的面积．
本题考查两点的斜率公式及直线的点斜式方程的应用，直线过定点问题，点到直线的距离公式的应用，三角形的面积求解，属中档题．
 

18.【答案】解：由题意可得，
，又，
解得，，
故；
由可知：，
设数列的前n项和为，
易知当时，，，所以，
当时，，，
，
所以 

【解析】由等差数列的公式列方程组即可求解；
分类讨论即可求解．
本题考查等差数列的性质，方程思想，分类讨论思想，属中档题．
 

19.【答案】解：圆C：可化为，圆心为，，
若l的斜率不存在时，l：，此时符合要求．
当l的斜率存在时，设l的斜率为k，则令l：，
因为，由垂径定理可得，圆心到直线的距离，
，
直线l的方程为，
所以直线l的方程为或
假设圆C上存在点P，设，
则，，
即，即，
，
与相交，则点P有两个． 

【解析】根据垂径定理可得圆心到直线l的距离为1，然后利用点到直线的距离即可求解；
假设圆C上存在点P，设，则，利用题干条件得到点P也满足，根据两圆的位置关系即可得出结果．
本题主要考查了直线与圆相交的性质，还考查了圆与圆位置关系的判断，属于中档题．
 

20.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则，，，，，
则，，，
则，，
，，且，
平面
，，
由知平面ADE的一个法向量为，
所以点到平面ADE的距离
 

【解析】建立空间直角坐标系，表示相关点的坐标，求出，即可证得；
在的基础上，根据点到面的距离公式有可求得结果．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，考查学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，
所以，即，
所以数列是公差为1的等差数列，
由，，成等比数列，得，
则，所以，
所以；
证明：由题可知，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以，
又，所以是递增数列，
，故 

【解析】由，可得数列是等差数列，从而可得其通项公式；
先由错位相减法求得和，再结合单调性可证不等式成立．
本题考查等差数列的通项公式的求解，错位相减法求和，属中档题．
 

22.【答案】解：依题意得，设，由PF的中点坐标为，得
且，，，
在抛物线上，，
即，解得或舍去，
抛物线C的方程为；
法一依题意直线l的斜率存在，
设直线l：，，，则，
联立消去y得，显然，由韦达定理得，
，
直线QN方程为，
即，
，方程为，
即直线QN方程恒过定点
法二依题意知直线QN的斜率存在且不为0，
设直线QN方程为，，，
则，
联立消去y得
，N是抛物线C上不同两点，必有，
由韦达定理得，
，A，N三点共线，，
，
，即化简得：，
，，
直线QN方程为，
直线QN恒过定点 

【解析】求得抛物线的焦点坐标，运用中点坐标公式，可得P的坐标，代入抛物线方程，解得p，即可得到所求抛物线方程；
方法一、设出直线l：，，，则，联立抛物线方程，运用韦达定理和直线的方程，求得QN的方程，即可得到定点；
方法二、设出直线QN的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和三点共线的条件：斜率相等，即可得到k，b的关系，进而得到所求定点．
本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率和方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．