2022-2023学年北京市平谷区高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市平谷区高二（上）期末数学试卷

1.  直线在x轴上的截距为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知圆关于对称，则实数m等于(    )

A.  B.  C. 3 D.

5.  已知平面，，直线m，n，下列命题中真命题是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则

6.  已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C所截得的弦长为(    )

A.  B.  C. 5 D. 10

7.  “”是“方程表示双曲线”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 6

9.  某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动，为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数千步为单位，并将样本数据分为九组，整理得到频率分布直方图如图所示，则当天这1000名会员中步数少于11千步的人数为(    )
 

A. 100 B. 200 C. 260 D. 300

10.  已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且垂直于x轴，，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D. 2

11.  直线的倾斜角是______.

12.  北京市某高中有高一学生300人，高二学生250人，高三学生275人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于______.

13.  已知双曲线的焦距为，则a的值为______；此双曲线的渐近线方程是______.

14.  已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是______；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则______.

15.  在直角坐标系中，O为坐标原点，曲线W的方程是，P为W上的任意一点．给出下面四个命题：
①曲线W上的点关于x轴，y轴对称；
②曲线W上两点间的最大距离为；
③的取值范围为；
④曲线W围成的图形的面积小于
则以上命题中正确的序号有______.

16.  如图，在正方体中，正方体的棱长为2，E为的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
求到平面的距离．

17.  某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
该应聘者用方案一考试通过的概率；
该应聘者用方案二考试通过的概率．

18.  已知椭圆C：的短轴长为4，离心率为点P为圆M：上任意一点，O为坐标原点．
求椭圆C的标准方程；
记线段OP与椭圆C交点为Q，求的取值范围．

19.  某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：…，，并整理得到频率分布直方图如图所示．

从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
估计随机抽取的100名学生分数的众数，估计测评成绩的分位数；
已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相
等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

20.  如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．
求证：平面AEC；
求证：平面平面APD；
设平面DAE与平面AEC夹角为，，，求AB长．

21.  已知椭圆C：的两个焦点是，，点在椭圆C上，且右焦点为坐标原点，直线l与直线OM平行，且与椭圆交于A，B两点．连接MA、MB与x轴交于点D，
求椭圆C的标准方程；
求证：

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：直线，
令，解得
故选：
令，解出x，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：点，，
线段AB的中点坐标为，
故选：
根据中点坐标公式，即可得出答案．
本题考查空间中的点的坐标，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，
其可能结果有，，，，，共6个，
其中满足编号之和不大于4的有，，共2个，
所以取出的球的编号之和不大于4的概率为
故选：
利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得．
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：圆C：化为标准方程，
所以圆心，
又圆关于直线对称，
所以直线过圆心，
即，
解得
故选：
根据题意，直线过圆心C，求出圆心代入直线方程，即可求出m的值．
本题考查了直线与圆的方程的应用问题，是基础题目．
 

5.【答案】B 

【解析】解：对于A：，，，故A错误；
对于B：，，，故B正确；
对于C：，，若，根据面面垂直的定理可得，故C错误；
对于D：，，，或m与n为异面直线或m与n相交，故D错误，
故选：
根据直线与平面的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和直观想象，属于中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：圆C的方程可化为：，
圆心C为，半径，
圆心C为到直线l：的距离，
所求弦长为
故选：
根据点到直线的距离公式及圆的弦长公式即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，属基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：若方程表示双曲线，
则，，
是方程表示双曲线的充要条件，
故选：
方程表示双曲线，则，即可求解．
本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：点到直线的距离为，
半径为2的圆经过点，
圆心到直线的距离的最小值为
故选：
求出点到直线的距离，再结合圆的半径，即可求解．
本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：由频率分布直方图可得会员中步数少于11千步的频率为，
则1000名会员中步数少于11千步的人数为，
故选：
根据频率分布直方图求出会员中步数少于11千步的频率，进而可以求解．
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】A 

【解析】解：轴，不妨设，，
由，可得，
可得，，，，解得
故选：
由轴，利用已知条件求出，求解，且，即可得出
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，是基本知识的考查，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为直线的斜率为：，
所以，
所以直线的倾斜角为：
故答案为：
利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．
本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．
 

12.【答案】33 

【解析】解：由已知可得抽取样本比例为，
则抽取的高三学生人数为，解得，
故答案为：
先求出抽取的样本比例，然后根据分层抽样的公式建立方程，由此即可求解．
本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为双曲线的焦距为，所以，，，
又因为，所以，即，可得；
双曲线渐近线方程为，
故答案为：
根据双曲线标准方程求出a，b，c，再求渐近线方程即可．
本题考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线C：的焦点为，
，，
抛物线C的方程是，
又M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，
，
，

故答案为：
根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．
 

15.【答案】①③ 

【解析】解：对于①，设在曲线W的方程上，因为也在曲线W的方程上，
也在曲线W的方程上，所以曲线W上的点关于x轴，y轴对称，故①正确；
对于③，，又因为曲线W的方程是，
所以，即得，，
得，所以，故③正确；
对于④，当时，曲线W的方程为，曲线W与x轴交点，与y轴交点，
曲线W上的点关于x轴对称可以得到曲线W的大致图像，
曲线W围成的图形的面积大于，故④错误；
对于②，如图及曲线W的对称性可知，曲线W上两点间的最大距离为，故②错误；

故答案为：①③．
根据对称性，最值及图像特征分别判断命题即可．
本题考查了利用方程研究曲线的性质，属于中档题．
 

16.【答案】证明：以A为原点，AD，AB，所在的直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，则

，，，
，
，
；
解：因为正方体的棱长为2，，，，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
，，
由知，平面所的法向量为，
，平面，
所以到平面的距离可以转化为点B到平面的距离，
 

【解析】以A为原点，AD，AB，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，向量法即可证出；
求出平面的一个法向量，再根据线面角的向量公式即可求出；
根据点到平面的距离向量公式即可求出．
本题考查了线线垂直的证明和线面角、直线到平面距离的计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则，，--------------分
应聘者用方案一考试通过的概率



--------------分
应聘者用方案二考试通过的概率



--------------分 

【解析】应聘者用方案一考试通过有四种情况，每种情况又需要分步进行，即两门通过，一门未通过，或三门均通过，分别根据三门指定课程考试及格的概率分别是，，，求出四种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
应聘者用方案二考试通过，也包含三种情况，即选中两课均通过，每种情况又需要分步进行，即先选中，再逐门通过，求出三种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，解答相互独立事件的概率时，分清是分类事件还是分步事件，分几类，分几步，以选择对应的加法、乘法公式是解答此类问题的关键．
 

18.【答案】解：由题意可知：，，又，
，，
椭圆的标准方程：；
由圆M：由题意可知：圆心M即为坐标原点，半径，
，设，
，
，
由，当时，，当时，，
的取值范围 

【解析】根据椭圆短轴长及离心率公式，以及，即可求得a和b的值，可求得椭圆方程；
根据两点之间的距离公式，根据，即可求得的取值范围．
本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的几何性质求出椭圆的标准方程，考查转化思想，属中档题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：
，
则分数小于60的频率为，
从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为；
由频率分布直方图得分数不小于50的频率为：
，
样本中分数小于40的学生有5人，
样本中分数在区间内的人数为，
估计总体中分数在区间内的人数为人；
由频率分布直方图可得分数在区间的频率最高，
则随机抽取的100名学生的众数的估计值为75，
由频率分布直方图可得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为，
则测试成绩的分位数落在区间上，
估计测评成绩的分位数为：；
由频率分布直方图得分数不小于70的学生人数为：
人，
样本中分数不小于70的男女生人数相等，
样本中分数不小于70的男生人数为人，
样本中有一半的男生的分数不小于70，样本中男生共有人，
则样本中女生共有人，
估计总体中男生和女生人数的比例为：60：： 

【解析】由对立事件结合频率分布直方图，先求出分数不小于60的频率，即可求出分数小于60的频率，则可得出总体的500名学生中随机抽取1人，其分数小于60的概率估计值．
先由频率分布直方图可得分数不小于50的频率，即可得出分数不小于50的人数，在结合题意可可得出总体中分数在区间内的人数；
总数为频率分布直方图中频率最高的分数区间的中间值，测评成绩的分位数先得出从前到后的频率之和为时在哪个区间，在通过频率能求出结果．
先由频率分布直方图可得分数不小于70的学生人数，在通过已知得出样本中男女生比例，即可求出总体中男女生的比例估计．
本题考查概率、频数、众数、分位数、总体中男生和女生人数的比例、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：证明：连接BD交AC于F，连接
因为E为PD的中点，F为BD的中点，
所以EF为的中位线，则，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
证明：因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又底面ABCD是矩形，可得，
又，
所以平面PAD，又平面PCD，
所以平面平面APD；
解：以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，，
则，，，
显然为平面AED的一个法向量，
设平面ACE的法向量为，
则，即，
令得，
因为平面DAE与平面AEC夹角为，
所以，，
解得，即 

【解析】连接BD交AC于F，连接EF，由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理．可得证明；
由线面垂直的性质和判断，推得平面PAD，再由面面垂直的判定定理可得证明；
建立空间坐标系，求出平面DAE与平面AEC的法向量，计算法向量的夹角得出AB的长．
本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，以及两平面所成角的求法，考查向量法的运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为右焦点，左焦点，
点在椭圆C上，，，，
，
所以C的方程为；
证明：设，，直线AB的斜率为，
设直线l的方程为，联立方程组，消去y，
得，所以，，
直线MA的直线方程为，
令，则，同理，
所以
，
把，代入整理得 

【解析】由已知可得左焦点，根据椭圆的定义可得，可求a，c，即可求得b的值，可得椭圆C的标准方程；
设直线AB的方程，代入椭圆方程，求得直线MA和MB的方程，求得D和E的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．