2022-2023学年福建省泉州市永春一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共27页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 如图，已知直线l， 已知圆O等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省泉州市永春一中高二（上）期末数学试卷
1. 已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2a−b互相垂直，则k的值是(    )
A. 1 B. 15 C. 35 D. 75
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且满足an+1+an=3⋅2n，则S11的值为(    )
A. 4093 B. 4094 C. 4095 D. 4096
3. 已知f(x)=12x2+2xf′(2022)−2022lnx，则f′(2022)=(    )
A. 2021 B. −2021 C. 2022 D. −2022
4. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB=4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则|A1G|=(    )
A. 73
B. 279
C. 273
D. 7
5. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(    )
A. 2
B. 32
C. 355
D. 52
6. 设等差数列{an}的前n项的和为Sn，a5=9，a2+a7=16，则下列结论不正确的是(    )
A. an=2n−1
B. a3+a6=16
C. Sn=n2+n
D. 数列{1anan+1}的前n项和为n2n+1


7. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB=6，深度MO=2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Q(158,2)，则|PF|+|PQ|的最小值为(    )


A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 如图，已知直线l：2x+y+m=0与圆O：x2+y2=2相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M，N，直线MN与x轴、y轴分别交于R，T两点，且△ORT面积的最小值为1625，则m的值为(    )

A. −4 B. −9 C. −6 D. −5
9. 已知圆O：x2+y2=49，直线l过点N(2,6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是(    )
A. 点M的轨迹是圆
B. |PQ|的最小值为6
C. 若圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，则l的方程是 4x−3y+10=0
D. 使|PQ|为整数的直线l共有16条
10. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用an表示斐波那契数列的第n项，则数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=an+1+an，记i=1nai=a1+a2+⋅⋅⋅+an，则下列结论正确的是(    )
A. a9=34 B. 3an=an−2+an+2(n≥3)
C. i=12021ai2=a2021⋅a2022 D. i=12019ai=a2021
11. 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y=t(t>0)与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是(    )

A. 椭圆的离心率是22 B. 线段AB长度的取值范围是(0,3+32]
C. △ABF面积的最大值是94(2+1) D. △OAB的周长不存在最大值
12. 在直四棱柱中ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=AD=AA1=2，P为CC1中点，点Q满足DQ=λDC+μDD1,(λ∈[0,1],μ∈[0,1]).下列结论正确的是(    )
A. 若λ+μ=12，则四面体A1BPQ的体积为定值
B. 若AQ//平面A1BP，则AQ+C1Q的最小值为10+310
C. 若△A1BQ的外心为O，则A1B⋅A1O为定值2
D. 若A1Q=7，则点Q的轨迹长度为23π

13. 在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,1,1)，B(b,0,5)，C(0,c,4)，若四边形OABC为平行四边形，则b+c=______.


14. 设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f′(x)，若函数y=f′(x)的图象的顶点的横坐标为−12，且f′(1)=0，则ba的值为______.


15. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第三象限，若|AF1|≤3|BF1|，则C的离心率的取值范围是______.


16. 对于正整数n，设xn是关于x的方程：(n2+5n+3)x2+x2logn+2xn=1的实根，记an=[12xn]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则a1=______；若bn=an⋅sinnπ2，Sn为{bn}的前n项和，则S2022=______.


17. 已知曲线C1：y=x3和C2：y=ax2+x−2，(a∈R).
(1)若曲线C1、C2在x=1处的切线互相垂直，求a的值；
(2)若与曲线C1、C2在x=x0处都相切的直线的斜率大于3，求a的取值范围．

18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−4x=0及点A(−1,0)，B(1,2).
(1)若直线l过点B，与圆C相交于M、N两点，且|MN|=23，求直线l的方程；
(2)圆C上是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2=12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．

19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC=BC=1，E是棱PB上动点．
(1)若过C，D，E三点的平面与平面PAB的交线是l，证明：CD//l；
(2)线段PB上是否存在点E，使二面角P−AC−E的余弦值是223？若存在，求PEPB的值；若不存在，请说明理由．

20. 已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1−an，其中，n∈N*.
(1)若a1=2，bn=2n.
①求证：{an}为等比数列；
②试求数列{n⋅an}的前n项和．
(2)若bn=an+2，数列{an}的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？
21. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，cos∠F1PF2=14,|PF1|=2|PF2|，且焦点到渐近线的距离为23.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设A为双曲线C的左顶点，点B(t,0)为x轴上一动点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，直线AM，AN分别交直线x=a2于S，T两点，若00,y0>0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则2x0+y0+m=0，
直线l与圆O相离，则d>r=2,|m|>10且mb>0,x≥0)，
∴b=3c=3，
∴a2=18，
∴椭圆的方程为x218+y29=1(x≥0)，
对于A，椭圆的离心率是e=ca=332=22，故A正确，
对于B，当t→0时，|AB|→3+32；当t→3时，|AB|→0，
所以线段AB长度的取值范围是(0,3+32)，故B错误，
对于C，由题得△ABF面积S=12×|AB|t，
设A(x1,t)，
∴x12+t2=9，
∴x1=−9−t2(0