2022-2023学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷

1.  如图，直线l的倾斜角为(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，满足，则x的值为(    )

A. 2 B.  C.  D.

3.  已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知向量，，则在上的投影向量是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，n个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球．若取出的2个球都是红球的概率为，则n的值为(    )

A. 4 B. 5 C. 12 D. 15

6.  已知直线：与：平行，则实数a的值为(    )

A.  B.  C. 0或 D. 或1

7.  过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点
，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在两条异面直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且已知，，，，则两条异面直线a，b所成的角为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则(    )

A. 事件A与事件B互斥 B.
C. 事件A与事件相互独立 D.

10.  已知曲线C的方程为，则C可能是(    )

A. 半径为的圆
B. 焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为
C. 等轴双曲线
D. 焦点在y轴上的双曲线，且焦距为

11.  已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作C的准线l的垂线，垂足分别为、，则(    )

A.
B. 若，则A的纵坐标为4
C. 若，则直线AB的斜率为
D. 以为直径的圆与直线AB相切于F

12.  如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则(    )

A. 平面
B. 平面与平面相交
C. 点O到直线的距离为
D. 点O到平面的距离为

13.  从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______.

14.  如图，在空间平移到，连接对应顶点．设，，，M为中点，则用基底表示向量______.

15.  已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则C的渐近线方程为______.

16.  圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点．如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜．它的形状是旋转椭圆．为了使影片门电影胶片通过的地方处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处．已知椭圆C：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的P点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为______.

17.  如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，，
若，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．

18.  的三个顶点分别为，，，M是AB的中点．
求边AB上的中线CM所在直线的方程；
求的面积．

19.  每年的11月9日是我国的全国消防日为我国规定的统一火灾报警电话，但119台不仅仅是一部电话，也是一套先进的通讯系统．它可以同中国国土上任何一个地方互通重大灾害情报，还可以通过卫星调集防灾救援力量，向消防最高指挥提供火情信息．佛山某中学为了加强学生的消防安全意识，防范安全风险，特在11月9日组织消防安全系列活动．甲、乙两人组队参加消防安全知识竞答活动，每轮竞答活动由甲、乙各答一题．在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为p，且甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为
求p的值；
求甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率．

20.  已知椭圆C：，四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
求C的方程；
若斜率存在且不为0的直线l经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点．

21.  如图，在多面体ABCDE中，平面平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，，，
若，求BD与平面ACDB所成角的正弦值；
若平面BDE与平面BCD的夹角为，求AB的长．

22.  党的二十大报告提出要加快建设交通强国．在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道约37000千米这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路．但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米．
建立适当的平面直角坐标系，求圆弧AB的方程．
为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙．某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高米，则此货车能否通过该洞门？并说明理由．

23.  已知过原点的动直线与圆C：相交于不同的两点A，
求线段AB的中点M的轨迹的方程；
若直线：上存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆与有公共点，求k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由图可知，直线l的倾斜角为
故选：
根据图象，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：向量，，满足，
，
解得
故选：
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：因为圆的一条直径的端点分别为，，
所以圆的圆心，，
则此圆的标准方程是
故选：
先求出圆的圆心坐标及半径，进而可求圆的方程．
本题主要考查了圆方程的求解，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：向量，，
则在上的投影向量是
故选：
由已知直接利用投影向量的概念求解．
本题考查投影向量的概念，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，n个绿球，
从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，
则，解得，负值舍去，
故选：
利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出n的值．
本题考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：直线：与：平行，
则，即，解得或，
经检验，当或时，直线，均不重合，满足题意，
故实数a的值为0或
故选：
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设点，，
因为A，B在双曲线上，
则有，
两式作差后，整理得，
由已知，直线l的斜率为1，
则，
，
又，
，
得，
即双曲线的离心率为，
故选：
设点，，代入双曲线方程后作差，整理，可得a，b关系，再利用消去b即可求得离心率．
本题考查了双曲线的几何性质，考查了点差法的应用，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图，设两条异面直线a，b所成的角为，
，，，，，，
，
则，
，
得舍去或，
则
故选：
设两条异面直线a，b所成的角为，由已知利用向量列式求解．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是基础题．
 

9.【答案】BC 

【解析】解：由题意可得：，，
则，
，
，即事件A与事件B不互斥，A错误；
可得：，
故，
，
，
，
可知B正确，D错误；
又，
事件A与事件相互独立，C正确．
故选：
根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断．
本题考查概率的应用，事件的独立性，属于基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：对于A选项，若曲线C表示圆，则，解得，
此时，曲线C的方程为，该圆的半径为正确；
对于B选项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，
此时，椭圆C的长轴长为错误；
对于C选项，若曲线C为等轴双曲线，则，无解，C错误；
对于D选项，若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，
此时，双曲线C的焦距为，D正确．
故选：
根据曲线的特征求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项．
本题考查了曲线与方程，考查了圆锥曲线的几何性质，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：知抛物线C：，，
焦点，准线l：，
设，，则，，
线段AB为焦点弦，
根据焦点弦的结论可得：，，
对A选项，，
与OB不垂直，选项错误；
对B选项，，，选项正确；
对C选项，，，
，，
，又，
，，
，，
直线AB的斜率为，选项正确；
对D选项，，，，
，，
，
，
以为直径的圆与直线AB相切于F，选项正确．
故选：
根据抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦的结论，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，抛物线的焦点弦问题，属中档题．
 

12.【答案】BC 

【解析】解：建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，
对于A，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
平面的法向量为，
又，
与不平行，
则与平面不垂直，故A错误；
对于B，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
平面的法向量为，
与不平行，
平面与平面相交，故B正确；
对于C，设，
，
点O到直线的距离为，
故C正确；
对于D，，平面的法向量为，
点O到平面的距离为，
故D错误；
故选：
建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，，
对于A，根据与平面的法向量不平行，即可判断；
对于B，根据平面的法向量与平面的法向量不平行，即可判断；
对于C，根据空间中点到直线的距离公式，即可判断；
对于D，根据空间中点到平面的距离公式，即可判断．
本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：从长度为4，6，8，10的4条线段中任取3条有：，，，共4种取法，
满足三条线段能构成一个三角形的有，，共3种取法，
所以这三条线段能构成一个三角形的概率为
故答案为：
首先列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可得，
又由已知可得，，
所以四边形为平行四边形，
则，所以，
故答案为：
利用平移的性质可得得，，所以四边形为平行四边形，则，然后再利用空间向量基本定理即可求解．
本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，设，
因为P是C的左支上一动点，
由双曲线的定义可得，
所以，
则的周长为，
当且仅当A，P，共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即，
解得，
由双曲线的方程可知，，
则渐近线方程为，
故答案为：
设出，运用双曲线的定义可得，则的周长为，运用三点共线取得最小值，可得a，b，c的关系，进而可得渐近线方程．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由椭圆C：，可得椭圆的左右焦点为，，
当轴时，，可得此时，故，
由椭圆的性质可知，当P由右顶点沿椭圆向上顶点移动时，逐渐变大，
故只有符合题意，由，可得，
，解得，，
的角平分线所在直线的斜率为，
的角平分线所在直线方程为，即
故答案为：
由已知可得，，当轴时，知点P的坐标为，可得此时，由椭圆的性质可知，当P由右顶点沿椭圆向上顶点移动时，逐渐变大，可得，进而求得的值，即为的角平分线所在直线的斜率，从而可求的角平分线所在直线方程．
本题考查直线方程的求法，考查椭圆的性质，属中档题．
 

17.【答案】解：因为平面平面ACDE，，平面平面，平面ABC，
所以平面ACDE，
连接AD，可得BD与平面ACDE所成角为
由等腰梯形ACDE，，，，可得，高，
，
又，所以，则，
即BD与平面ACDE所成角的正弦值为；
由面面垂直的性质定理可得平面ABC，
以A为坐标原点，以AC，AB所在的直线为x，y轴，以过A平行于DH的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设，则，，，，
可得，，，
设平面BCD的法向量为，由，且，即，，
取，则，，即，
设平面BDE的法向量为由，，可得，，
可令，则，即有，
则，，解得，
即 

【解析】由面面垂直的性质定理和线面角的定义可得所求值；
以A为坐标原点，以AC，AB所在的直线为x，y轴，以过A平行于DH的直线为z轴，建立空间直角坐标系，运用向量法可得所求值．
本题考查面面垂直和线面垂直的性质，以及线面角和二面角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：的三个顶点分别为，，，M是AB的中点，
所以；
故直线CM的斜率，
所以直线CM的方程为，整理得；
由于，，
所以，
直线BC的方程为，整理得，
所以点M到直线BC的距离，
所以 

【解析】直接利用中点坐标公式和点斜式求出直线的方程；
利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：点到直线的距离公式，直线方程的求法，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
 

19.【答案】解：设事件“甲第一轮猜对”，事件“乙第一轮猜对”，事件“甲第二轮猜对”，事件“乙第二轮猜对“，
甲、乙两人在两轮竞答活动中答对3题的概率为

，
解得或舍去，
故；
三轮竞答活动中甲乙一共答6题，甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题，
即总共有2题没有答对，可能甲有两题没有答对，可能乙有两题没有答对，可能甲乙各有一题没有答对，
甲、乙两人在三轮竞答活动中答对4题的概率 

【解析】利用相互独立事件概率的乘法公式列方程求解即可；分甲有两题没有答对，乙有两题没有答对，甲乙各有一题没有答对三种情况，利用相互独立事件的概率以及独立重复事件的概率的乘法公式求出概率即可．
本题考查独立事件的乘法公式，独立重复试验的概率问题，属于基础题．
 

20.【答案】解：四点，，，中恰有三点在椭圆C上．
则，，三点在椭圆C上，
，，解得，
椭圆C的方程为
证明：，
设，，则，
设直线l的方程为，代入椭圆C的方程可得：，
，
，，
直线BD方程为：，令，则，
直线BD过x轴上的定点 

【解析】又椭圆可得，，三点在椭圆C上，于是，，解得，即可得出椭圆C的方程．
，可得设，，可得，设直线l的方程为，代入椭圆C的方程可得关于y的一元二次方程，直线BD方程为：，
令，可得，化简利用根与系数的关系即可证明结论．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意可知，平面平面ACDE，平面平面，
平面ACDE，
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，
平面ACDE的一个法向量为，
若，则，，
，
与平面ACDB所成角的正弦值为；
设，平面BCD的法向量，
，，
，取，得，
设平面BDE的法向量，
，，
，取，则，
平面BDE与平面BCD的夹角为，
，解得或舍，
故AB的长为 

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ACDB所成角的正弦值；
分别求出平面BDE与平面BCD的法向量，利用向量法能求出AB的长．
本题考查线面角的定义及正弦值的求法、二面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、，由圆的对称性可知，圆心在y轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为r，
则圆弧众所在圆的方程为，
因为点C、B在圆上，则，解得，，
所以，圆弧AB所在圆的方程为，
因此，圆弧AB所在圆的方程为，；
解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，
因此，该货车不能通过该路口． 

【解析】以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为r，将点B、C的坐标代入圆的方程，求出b、r的值，结合图形可得出圆弧的方程；求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论．
本题考查函数模型的应用，直线与圆的实际应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：将圆C：化成标准形式为，其中圆心C为，半径，
当直线的斜率为0时，A，B两点均在x轴上，此时M与C重合，即线段AB的中点；
当直线的斜率不为0时，设点M的坐标为，
由垂径定理知，，
所以，即，
联立，解得，或，，
即圆C与圆有两个交点，设为点E和F，则，，
故线段AB的中点M的轨迹的方程为

由知，轨迹是不含E，F两点的劣弧EF，
当时，存在圆P：满足题意；
当时，只需点到直线：的距离，即，解得；
当时，只需点到直线：的距离，即，解得，
综上所述，k的取值范围为 

【解析】分直线的斜率为0和不为0两种情况，结合垂径定理，利用两条直线的垂直关系，可得解，注意x的取值范围；
由知，轨迹是一段劣弧，再分，和三种情况，结合点到直线的距离公式，即可得解．
本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握点到直线的距离公式，轨迹方程的求法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．