2022-2023学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年河北省张家口市高二（上）期末数学试卷

1.  已知两条直线：和：相互垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若点在抛物线上，则抛物线的准线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  椭圆C：的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为(    )

A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含

5.  已知正方体的棱长为3，E，F分别在DB，上，且，，则(    )

A. 3 B.  C.  D. 4

6.  已知三角形数表：
现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知为等比数列，，，则(    )

A. 3
B.
C.
D.

9.  下列选项正确的有(    )

A. 表示过点，且斜率为2的直线
B. 是直线的一个方向向量
C. 以，为直径的圆的方程为
D. 直线恒过点
 

10.  已知为等差数列的前n项和，，，则下列选项正确的有(    )

A. 数列是单调递增数列
B. 当时，最大
C.
D.

11.  已知椭圆C：的离心率为，，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，的周长为14，则下列选项正确的有(    )

A. 椭圆C的方程为
B.
C. 内切圆的面积S的最大值为
D.

12.  在长方体中，，，M为棱DC的中点，点P满足，其中，，则下列结论正确的有(    )

A. 当，时，异面直线AP与所成角的余弦值为
B. 当时，
C. 当时，有且仅有一个点P，使得
D. 当时，存在点P，使得
 

13.  已知空间向量，，，则______.

14.  已知点F为双曲线C：的左焦点，过点F作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线C有唯一交点P，且，则双曲线C的方程为______.

15.  已知数列满足，，为数列的前n项和，恒成立，则的最小值为______.

16.  过点作圆E：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.

17.  已知为等差数列的前n项和，若，
求数列的通项公式；
求数列的前50项和

18.  已知直线l：与圆E：交于A，B两点．
当最大时，求直线l的方程；
若，证明：为定值．

19.  “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用．下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．
求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距焦点到准线的距离；
已知直线m是抛物线的对称轴，Q为直线m与水面的交点，P为抛物线上一点，O，F分别为抛物线的顶点和焦点．若，，求桥面与水面的距离．

20.  已知数列满足，
求数列的通项公式；
求数列的前n项和

21.  如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的正方形，平面平面ABCD，，
求证：平面CDP；
若点E在线段AC上，直线PE与直线DC所成的角为，求平面PDE与平面PAC夹角的余弦值．

22.  已知一动圆与圆E：外切，与圆F：内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线
求曲线C的方程；
已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点异于点，记直线PA和直线PB的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：因为两条直线：和：相互垂直，
所以，
则
故选：
由已知结合两直线垂直的条件建立关于a的方程，可求．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的方程为，
准线方程为
故选：
由已知可求p，进而可求抛物线方程，可得抛物线的准线方程．
本题考查抛物线的方程的求法，考查抛物线的几何性质，属基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：椭圆C：，
可得，，
离心率，
故选：
利用离心率即可得出结论．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：圆：的圆心为，半径为2，
圆：的圆心为，半径为3，
而，
所以圆与圆的位置关系为外切．
故选：
判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论．
本题考查圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：在正方体中，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为正方体的棱长为3，则，，，，
因为，，所以，，
所以，故，
故选：
根据题意，建立空间直角坐标系，结合条件求得E，F的坐标，再利用空间向量的模的坐标表示即可得解．
本题考查了空间中两点间距离的计算问题，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：根据题意，在数表中，第n行，有n个数，
而为按从上到下、从左到右的顺序的第100个数，
又由……，
则为第14行的第9个数，故，
故选：
根据题意，归纳可得在数表中，第n行，有n个数，由此可得为第14行的第9个数，分析可得答案．
本题考查归纳推理的应用，注意分析数表的规律，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：因为，表示点到点，的距离之和，
又因为，
所以上述式子表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值．
设关于直线的对称点为，
则有，解得，
所以，

所以直线上的点到点，点的距离之和的最小值为
故选：
将原式化简为，表示直线上的点到点，点的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，再由两点间的距离公式求出的长度即得答案．
本题考查了代数式的几何意义、转化思想、数形结合思想，难点是将代数式转化为几何意义，作出图象是关键，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：为等比数列，，，
，
，是方程的两个根，
解方程得或，
当时，，；
当时，，
故选：
由等比数列性质得，，是方程的两个根，解方程得或，再利用等比数列的通项公式能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：表示过点且斜率为2的直线方程不正确，不含点，选项A错误；
直线的斜率为，则该直线的一个方向向量，故B正确；
设圆上任一点为，则有，
代人坐标即可得以，为直径的圆的方程为，故C正确；
即，
令，解得，，恒过定点，故D正确，
故选：
由直线方程的点斜式判断A；由方向向量的定义可判断B，点，，设圆上任一点为，可以判断C；对于A，将直线变形，即可判断
本题主要考查直线系过定点的求法，以及圆的方程的求法，直线的点斜式方程，直线的方向向量，属于基础题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：为等差数列的前n项和，，，
，，，，
数列是单调递减数列，故A错误；
，，当时，最大，故B正确；
，，
，故C正确；
，数列是单调递减数列，
，
，故D错误．
故选：
推导出，从而，，进而数列是单调递减数列，，，，，，由此能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：设，，
由题意可得，，，解得，，，
椭圆C的方程为，因此A正确；
，，化为，当且仅当时取等号，因此B正确；
设内切圆的半径为r，则，，内切圆的面积的最大值为，因此C不正确；
当且仅当时取等号，因此D正确．
故选：
由题意可得，，，解得a，c，，可得椭圆C的方程，结合基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理即可判断出结论．
本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、基本不等式、三角形内切圆的面积计算公式、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】AB 

【解析】解：对于当，时，，此时点P是与的交点，

如图，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
所以，，故A正确；
对于当时，，此时，点P在线段EF上，分别是棱，的中点，
此时，，，，
，，所以恒成立，
所以当时，有，故B正确；

对于当时，，此时点P在线段HS上，分别是BC的中点，
，，，，
当时，有，即，，所以方程无解，不存在点P使，故C错误；

对于当时，，此时点P在线段上，，，
，，，，若，则，
解得：，不成立，所以不存在点P，使得，故D错误．

故选：
首先根据，的值，确定点P的位置，再利用空间向量的垂直和线线角的坐标运算，即可判断选项．
本题考查异面直线所成的角，考查线线垂直的判断，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：空间向量，，，
，可得，
向量，，

故答案为：
直接根据向量共线求得，再代入数量积求解即可．
本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为点F为双曲线的左焦点，过点F作倾斜角为的直线l，直线l与双曲线C有唯一交点P，
所以直线l与渐近线平行，
所以，即，
所以双曲线为，
因为，
所以，即，
代入双曲线方程可得，解得，或舍去，
所以，
所以双曲线C的方程为，
故答案为：
根据题意得，由，得，代入方程解决即可．
本题考查了双曲线的方程和性质，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
当时，
，
当时，，
，
恒成立，
，
的最小值为
故答案为：
根据裂项求和法，恒成立问题化为最值，即可求解．
本题考查裂项求和法的应用，恒成立问题的求解，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆E：，配方为，
圆心，
线段EP的中点，，
以线段EP为直径的圆的方程为：，
与圆E：相减可得直线AB的方程为：
故答案为：
求出以线段EP为直径的圆的方程，与圆E：相减可得直线AB的方程．
本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意可得，
解得，
；
根据可知，，
令，可得，

 

【解析】根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解；
先去掉绝对值，再根据等差数列的求和公式，即可求解．
本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，方程思想，属基础题．
 

18.【答案】解：直线l：过定点，圆E：的圆心坐标为，
当最大时，直线l过圆心，则，
直线l的方程为；
证明：联立，得
设，，
，即，
，，

即为定值． 

【解析】求出直线所过定点及圆心坐标，可得最大时的k值，则直线方程可求；
联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及数量积的坐标运算证明．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，

AB为桥面，CD为水面，
设对应抛物线的方程为，
又点在抛物线上，所以，解得，
该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距为；
由题意得米，米，
所以，
又，所以，
所以，所以米，
又拱形最高点与桥面的距离为32米，所以桥面与水面的距离米，
所以桥面与水面的距离为8米． 

【解析】以该桥抛物线拱形部分对应抛物线的顶点为原点，建立直角坐标系，设对应抛物线的方程为，又点在抛物线上，代入求解即可；
由题意得米，米，从而可得，进而由已知可得，从而可得米，进而可得桥面与水面的距离．
本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

20.【答案】解：，又，
，
，又，
数列是以首项为6，公比为2的等比数列，
，
；
由可知，
设数列的前n项和为，
则，
，

，
，

 

【解析】根据等比数列的定义及通项公式即可求解；
根据分组求和法与错位相减求和法即可求解．
本题考查等比数列的定义及通项公式的应用，分组求和法与错位相减求和法的应用，属中档题．
 

21.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，，
又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
平面ADP，又平面ADP，，
，
，，
，，又，PD，平面CDP，
平面
解：过P作于O，作交BC于F，
平面平面ABCD，平面平面，平面ADP，
平面ABCD，
由知：，，
，
，
以O为坐标原点，OA，OF，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设，
则，
，
直线PE与直线DC所成的角为，
，解得：，
，
设平面PDE的法向量，
则，令，解得：，
，
设平面PAC的法向量，
则，令，解得：，；
设平面PDE与平面PAC夹角为，
，
即平面PDE与平面PAC夹角的余弦值为 

【解析】根据面面垂直性质可证得平面ADP，则，利用勾股定理可证得，结合，由线面垂直的判定可得结论；
作，垂足为O，作，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线线角的向量求法可构造方程求得，利用面面角的向量求法可求得结果．
本题考查了线面垂直的证明以及两平面夹角的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：设动圆的圆心为，半径为r，
圆E：的圆心，半径，
圆F：的圆心，半径，
由题意可得，即，
而E，F为定点，
由双曲线的定义可得P点的轨迹为双曲线的右支，且，，可得，，
所以曲线C的方程为；
证明：将①②作为条件，
由题意可得直线l的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
，可得，
且，，
由题意，
因为，
所以，
即，
整理可得：，
即，
即整理可得：，
即，
解得或，
当时，直线l的方程为恒过定点，舍，
所以，
即证明①②③；
若选①③，则直线l的方程为，设，，
联立，整理可得：，，即，
且，，
，
因为，
所以②成立；
若②③成立时，设直线l的方程为：，设，，设双曲线上点，
联立，整理可得：，，可得，
，，
则意，
因为，
所以，
即，
即，
整理可得：，
可得，解得，，
即P点的坐标，
即证得②③①成立； 

【解析】设动圆的圆心的坐标及半径，由题意及双曲线的定义可得曲线C为双曲线的右支，并可得双曲线的方程；
若①②作为条件时，设直线l的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之和，将两根之和及两根之积代入整理可得直线l的斜率的值，可证得③成立；若①③成立，设直线l的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，即证得②成立；若②③成立，设直线l的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线PA，PB的斜率之和，令斜率之和为0，可得点P的坐标，即证得①成立．
本题考查点的轨迹方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．