2022-2023学年江西省新余一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年江西省新余一中高二（上）期末数学试卷

1.  已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有一名书法爱好者准备从五种书体中任意选两种进行研习，则他恰好不选草书体的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，，则(    )

A. 1 B. 0 C.  D. 2

4.  已知，，与的夹角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知，，圆C：上有且只有一个点P满足则r的取值可以是(    )

A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 4

6.  已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的有(    )
参考数据：①；②；③

A. 这次考试成绩超过100分的约有500人
B. 这次考试分数低于70分的约有27人
C.
D. 从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为

7.  甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是红球”，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与C交于P，Q两点，若，则C的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  下列命题中错误的是(    )

A. 将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变
B. 在一组样本数据，，⋯，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
C. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和

10.  关于空间向量，以下说法正确的是(    )

A. 两个非零向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线

11.  如图，矩形ABCD中，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，则在翻折过程中点不在平面DEBC内，下面四个选项中正确的是(    )

A. 平面 B. 点M在某个圆上运动
C. 存在某个位置，使 D. 线段的长的取值范围是

12.  已知曲线C：，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则C是圆，半径为
B. 若，，且，则C是双曲线，其渐近线方程为
C. 若，，且，则C是椭圆，若，是曲线C的左、右顶点，P是曲线C上除，以外的任意一点，则
D. 若，，则C是双曲线，若P是曲线C上的任意点，则P到两条渐近线的距离之积为
 

13.  12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有______种．

14.  已知离散型随机变量的分布如表：若随机变量的期望值，则______.

15.  如图，抛物线C：的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为的直线与C交于点M，在x轴上方，则______.

16.  在直三棱柱中，，平面经过点A，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为H，则BH长度的取值范围为______.

17.  如图，已知直线：，直线：，C是夹在两直线中的动点，过点C作任意直线交于点A，交于点B，且都满足
求动点C的轨迹方程；
已知点，是否存在点C，使得？若存在，求出点C的坐标、若不存在，说明理由．

18.  直线l过点与圆E：相切，求直线l的方程；
已知圆C：内有一点，A、B为圆上两动点，且满足求弦AB中点M的轨迹方程．

19.  下面给出了根据我国2016年年水果人均占有量单位：和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图年年的年份代码x分别为

根据散点图分析y与x之间的相关关系；
根据散点图相应数据计算得，，求y关于x的线性回归方程数据精确到；
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

20.  如图，已知双曲线，经过点且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与C的渐近线交于M，N两点从左至右的顺序依次为A，M，N，，其中
若点T是MN的中点，求k的值；
求面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：直线的斜率为，即，
所以倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
斜率
故选：
根据直线斜率可得倾斜角，再由倾斜角求倾斜角，即可得斜率．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：由题意，所有可能的选择情况有种，其中恰好不选草书体的情况有种，
故恰好不选草书体的概率为
故选：
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：令，得，令，得，则
故选：
分别令，代入二项展开式可得系数之和．
本题考查二项式定理的赋值法，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：因为，，
所以，，，
因为与的夹角为，
所以，
所以，且，解得
故选：
求出空间向量的坐标，利用向量数量积和向量的夹角求出结果．
本题主要考查利用向量数量积和向量的夹角公式，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：设，由，
得，
整理得，
又圆C：上有且仅有一点P满足，
两圆相切，
又圆的圆心坐标为，半径为2，
圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得；
当两圆内切时，，得
故选：
设，由两点间的距离公式得，又圆C：上有且仅有一点P满足，分两圆外切和内切，即可得到答案．
本题考查轨迹方程的求解，圆与圆的位置关系，属中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由题意可知，对于选项A，，，则，则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误；
对于选项B，，所以，所以分数低于分的人数约为，即约为27人，所以选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以选项C错误；
对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为；②3人均超过100分时的概率为，则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误．
故选：
由正态分布的性质则，求出人数判断A，由正态分布的对称性求出相应概率判断BC，利用独立事件的概率公式和互斥事件概率公式计算后判断
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：由题意可得，，，，
故
故选：
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：，设，
则，，由椭圆的定义可得：，
所以，所以，，
，
在中，由余弦定理可得，
即，即，
在中，，
即，可得，
所以离心率，
故选：
由题意可设的值，可得，，，的值，由余弦定理可得为直角，在中，由勾股定理可得a，c的关系，进而求出离心率．
本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于基础题．
 

9.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以A错误；
对于B，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以B错误；
对于C，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以C错误．
对于D，以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，线性回归方程为，
则，
即，解得，所以D正确．
故选：
根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题考查均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，非零向量，，若，则，故A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有，
因为，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，
所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点P，A，B，C，，
由共线向量定理可知：A，B，C三点共线，故D正确，
故选：
由向量垂直的性质判断A；由共面向量定理判定B；由向量加法法则判断C；由共线向量定理判断
本题主要考查向量垂直的性质，空间向量基本定理，四点共面与三点共线的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】ABD 

【解析】解：如图所示，在DC上取一点N，令，连接NB，

在矩形ABCD中，且，
又因为，
所以且，所以四边形EBND为平行四边形，所以，
又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，
又因为，所以，
又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，
又因为且NM、平面BMN，所以平面平面ADE，
又因为平面BMN，所以平面，选项A正确；
由，，，可得，
由可知，，而，
由余弦定理可知，BM为定值，而B为定点，故M在以B为圆心，BM为半径的圆上运动，故选项B正确；
取ED的中点H，连接，HC，在中，，
所以，假设成立，、平面，所以平面，
又因为平面，所以，
而在中，，所以，故不成立，所以假设不成立，该选项C错误；
在DC上取一点，令，
在翻折过程中，线段的最大值是与A点重合，此时，
线段的最小值是与点重合，此时，
又因为点不在平面DEBC内，所以线段的长的取值范围是，选项D正确；
故选：
选项A，在DC上取一点N，令，可通过面面平行的判定定理证明平面平面ADE，从而证明平面；选项B，可通过，
，借助余弦定理可知BM为定值，从而确定M点的轨迹；选项C，可先假设成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到，然后在中，利用勾股定理验证是否满足，即可做出判断；选项D，可通过点运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后求解即可做出判断．
本题考查了空间中的线面关系以及动点的轨迹问题，属于中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：曲线C：，
A.若，则C化为：，因此C是圆，半径为，正确；
B.若，，且，则C是双曲线，其焦点在y轴上，其渐近线方程为，因此B不正确；
C.，，设，则，，，因此C正确；
D.双曲线的渐近线方程为，设，则，，则P到两条渐近线的距离之积为，因此D正确．
故选：
曲线C：，
A.由，C化为：，进而判断出正误；
B.若，，且，可得C是双曲线，其焦点在y轴上，进而得出渐近线方程，进而判断出正误；
C.，，设，代入双曲线可得，利用斜率计算公式可得，进而判断出正误；
D.双曲线的渐近线方程为，设，，可得，利用点到直线的距离公式可得P到两条渐近线的距离之积，进而判断出正误．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】90 

【解析】解：根据题意可知，本题属于平均分组且排序型，共有种，
故答案为：
首先把12个人平均分成3组，这是一个平均分组，从12个中选4个，从8个中选4个，最后余下4个，这些数相乘再除以3的全排列，再把这3个小组作为3个元素分到3个路口，这样就有一个全排列，根据分步计数原理得到结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

14.【答案】11 

【解析】解：由题意得，，解得，
，

故答案为：
根据分布列的性质求得a，b的值，再求得，即可求得
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题．
 

15.【答案】3 

【解析】解：由抛物线C：，得，
则MF：，与抛物线联立，得，
解得，，，
所以

，
故答案为：
求出直线l的方程，与抛物线方程联立求出M的坐标，进一步求出N的坐标，求得距离，即可求解比值．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

已知平面，连接AH，则，故H在以为直径的球面上．
又与平面所成的角为，，过H作于点，如图1所示，
求得，，，则H在如图2所示的圆锥的底面圆周上，
其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
在中，，
又由题意可得，由余弦定理，得，
即
故答案为：
由题意画出图形，求得H点的轨迹，求解三角形可得AH与的范围，再由余弦定理求解BH的范围．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：直线：，直线：，C是夹在两直线中的动点，过点C作任意直线交于点A，交于点B，且都满足，
直线：与直线：间的距离，
且点C在直线与直线：之间的平行线上，且平行线距离直线的，
设点C所在直线为：，
则，解得舍，
即动点C的轨迹方程为：；
假设存在点到点的距离为3，
则，可得，解得或，
对应的点或，
即存在点或，满足 

【解析】根据条件分析点C满足的条件，进而求解结论，
先假设存在，再解方程求解即可得到结论．
本题主要考查轨迹方程的求解，考查直线方程的求解，考查计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为，
所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又
所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余，
所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即，
综上，直线l的方程为或

设，连接QM，CM，的圆心为，半径，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：，

垂径定理得：，所以，
因为，，，
则代入坐标即得，
整理得： 

【解析】当直线l斜率不存在时，验证符合题意，对于另一条切线，若切点为D，则，进而可求斜率，可求直线方程；
由于中，为直角，所以设AB中点，则，再构建圆中弦心距，半径，弦长的一半构成直角三角形，可构建方程．
本题主要考查与圆有关的轨迹问题，应充分利用圆的特殊性，从而求出轨迹方程，属中档题．
 

19.【答案】解：根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y与x成线性相关，且为正相关；
依题意，，，，，，
所以y关于x的线性回归方程为： 

【解析】根据散点图可以看出，散点均匀的分布在一条直线附近，故y与x成线性相关；
根据给出信息，分别计算出x，y的平均值，代入最小二乘法估计公式，即可得到回归方程．
本题考查线性回归方程，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，，
联立直线l与双曲线方程，消去y得，
，，
联立直线l与其中一条渐近线方程，解得，
则，同理可得，
则，
则可知AB的中点与MN的中点重合，
由于是MN的中点，所以，解得；
双曲线与联立，
消去，
由知或，
由于，，
所以，又O到直线的距离，
，
整理得，
令，则，
当，即时，的最大值为2，所以面积的最小值为 

【解析】联立直线l与双曲线方程，根据点T是MN的中点，列方程求解即可；
联立直线l与双曲线方程，表示出的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．