2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷

1.  已知长方体中，，若棱AB上存在点P，使得，则AD的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知数列中，，，则数列的前n项和为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数，则(    )

A.  B. 2 C.  D. 4

4.  如图，已知正方体棱长为8，点H在棱上，且，在侧面内作边长为2的正方形，P是侧面内一动点，且点P到平面距离等于线段PF的长，则当点P在侧面运动时，的最小值是(    )

A. 87
B. 88
C. 89
D. 90

5.  设F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点若，则双曲线C的离心率是(    )

A.
B. 2
C.
D.

6.  数列，满足，，且，且的前n项和为，记，，数列的前n项和为，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知点M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，C是圆的圆心，则的最小值为(    )

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

8.  在中，已知，D是边BC上一点，且，，则面积的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知直线l：，则下列结论正确的是(    )

A. 直线l的倾斜角是
B. 若直线m：，则
C. 点到直线l的距离是2
D. 过与直线l平行的直线方程是
 

10.  若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  在直四棱柱中中，底面ABCD为菱形，，，P为中点，点Q满足下列结论正确的是(    )

A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若平面，则的最小值为
C. 若的外心为O，则为定值2
D. 若，则点Q的轨迹长度为

13.  已知空间三点，，在一条直线上，则实数k的值是______.

14.  如图，是可导函数．直线l是曲线在处的切线，令，则______.

15.  椭圆C：的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若，，则椭圆C的离心率为______.

16.  对于正整数n，设是关于x的方程：的实根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______，若，为的前n项和，则______.

17.  已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．

18.  已知函数
求不等式的解集；
若的最小值为m，且实数a，b满足，求的最小值．

19.  如图，在直三棱柱中，，，，点D是BC的中点．
求证：直线平面
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20.  某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中、、、为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含个小正方形．

求的值；
求出的表达式；
求证：当时，

21.  已知椭圆：的左右焦点分别为、，双曲线：与共焦点，点在双曲线上．
求双曲线的方程；
已知点P在双曲线上，且，求的面积．

22.  已知函数，
当时，求函数在点处的切线方程；
设，若，，都有，求实数a的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：如图建立坐标系，

设，，
则，，，
，，
，，
即，所以，
当时，所以所以
故选：
建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出a的范围．
本题主要考查了空间向量的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
，
，
数列是以5为首项，以2为公比的等比数列，
，

数列的前n项和为，
故选：
根据数列的递推公式可得数列是以5为首项，以2为公比的等比数列，再根据分组求和即可求出答案
本题考查了数列的递推公式和等比数列的前n项和公式，考查了学生的运算能力，属于中档题
 

3.【答案】D 

【解析】解：由已知得，所以，解得
故，所以D选项正确．
故选：
先对已知条件求导，求出，即可直接求
本题主要考查导数运算，属于简单题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：建系如图，则，，，
作，交于M，连接PM，则，
作，交于N，则PN即为点P到平面距离，
设，，则，
点P到平面距离等于线段PF的长，，
由两点间距离公式可得，
化简得，，，
在中，


，，
当且仅当时，的最小值是
故选：
建系，根据空间中两点间距离公式及函数思想即可求解．
本题考查坐标法的应用，函数思想的应用，属中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点所以，又因为，所以A为线段FB的中点，，又，
，所以
故
，
故选：
先由，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：设的前n项和为，则，
，
，
又，，
是以首项为，公差的等差数列，
，，
，
令，，
的最小值为
故选：
先求出，，从而得到，判断出，，，当时，，从而可求出的最小值．
本题考查等差数列的定义与通项公式的应用，数列的前n项和的最值的求解．属中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：设抛物线的准线方程为l：，C为圆的圆心，所以C的坐标为，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，
故选：
求出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M，使M到C点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．
本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化．
 

8.【答案】B 

【解析】解：因为在中，已知，D是边BC上一点，且，，
；
；
；
即：；
，当且仅当时等号成立；

即面积的最大值为：
故选：
先根据向量的三角形法则得到；对其两边平方，求出bc的取值范围即可求得结论．
本题考查的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．
 

9.【答案】BCD 

【解析】解：对A，直线l：，直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故A错误，
对B，直线m：的斜率为，
因为，所以两条直线垂直，故B正确，
对C，点到直线l的距离是，故C正确，
对D，的斜率为，
故过与直线l平行的直线方程是，
化简得，故D正确．
故选：
对A，根据斜率判断即可；对B，根据直线垂直斜率之积为求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可．
本题主要考查直线的倾斜角，点到直线的距离公式，两直线垂直的性质和直线方程的求法，属于基础题．
 

10.【答案】ABC 

【解析】解：因为，，，
所以，，，，，所以A正确；
，可得，
即有，故C正确；
设数列的前n项和为，
…，
又…，
所以…，所以B正确；
…………，
但，所以…，所以D不正确．
故选：
根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出，从而可判断选项B和
本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

11.【答案】AB 

【解析】解：设椭圆的焦距为，由椭圆定义可得，又，
解得，，由题意可得：，
即，解得，又，
所以椭圆的离心率范围为符合范围的答案为AB，
故选：
由已知和椭圆定义可得，与a的关系，然后再利用焦半径范围即可求出离心率的范围，进而可以求解．
本题考查了椭圆定义以及离心率问题，涉及到焦半径问题，属于基础题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，取，DC的中点分别为M，N，连接AM，AN，MN，DQ，
则，，，
因为，，
所以，，
所以Q，M，N三点共线，所以点Q在MN，
因为，，所以，平面，平面，
所以平面，
所以点Q到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为，因为平面，平面，
所以平面，又平面，，AQ，平面AMQ，
所以平面平面，
取的中点E，连接PE，则，，
所以，所以，B，P，E四点共面，
所以平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又，所以，
所以点Q的轨迹为线段MN，翻折平面AMN，使其与五边形
在同一平面，如图，则，当且仅当A，Q，三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
因为，，
所以，，
所以，在中，，，
所以，
所以，
所以，
在中，，，，
所以，
所以，即的最小值为，所以B正确，

对于C，若的外心为O，过O作于H，
因为，
所以，所以C错误，

对于D，过作，垂足为K，
因为平面，平面，
所以，因为，，平面，
所以平面，因为KQ平面，
所以，又在中，，
所以，，
在中，，，，
所以，则Q在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
在，上取点，，使得，
则，所以点Q的轨迹为圆弧，
因为，所以，
则圆弧等于，所以D正确，
故选：
对于A，取，DC的中点分别为M，N，由条件确定Q的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定Q的轨迹为MN，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点Q的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断．
本题考查四面体的体积问题，线面平行的性质，三角形外心的性质，向量数量积的运算，轨迹弧长的求解，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，，
因为空间三点，，在一条直线上，
所以，即，解得，
所以实数k的值是，
故答案为：
先计算、的坐标，利用空间向量共线定理即可求解．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，
又，，
则
故答案为：
由图象可得与的值，再由导数的运算法则求的导数，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数与导数的运算法则，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得，
，在中，，
，，
代入椭圆方程得：，
，整理得，
离心率
故答案为：
设点P在第一象限，由对称性可得，推导出，，由此能求出椭圆的离心率．
本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
 

16.【答案】1 506 

【解析】解：当时，，设，在单调递减，
，，，，
令，则方程化为：，
令，
则在单调递增，
，，
由零点存在定理可得，，
当，，，；
当，，，
为的前n项和，则…
故答案为：1，
当时，，设，利用其单调性与函数零点存在定理即可得出：，进而得出令，方程化为：，令，利用函数在上的单调性及其零点存在定理可得，，
当，，，可得；当，，，可得即可得出
本题考查了函数的零点存在定理、数列求和、分类讨论方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

17.【答案】解：，则
，即，
即
，，即 

【解析】求出，结合均值不等式讨论的值域，利用导数的几何意义可得的范围，即可得出答案．
本题考查导数的几何意义，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
由，得或或，
或或，或，
不等式的解集为或
由知，，
，即，
点到直线的距离，
的最小值为 

【解析】将写为分段函数的形式，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；
由知，然后求出点到直线的距离d，从而得到的最小值为
本题考查了绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
 

19.【答案】证明：在直三棱柱中，，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，点D是BC的中点，
则，，，，，，所以，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，，即且，
取，得，，
所以，
因为，且平面，
所以平面；
解：取平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角的大小为，，
所以，
因此平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 

【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标和平面的一个法向量，由数量积为零即可证明结论；
首先求得平面与平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角．
本题考查了线面平行的证明以及二面角的计算，属于基础题．
 

20.【答案】解：根据题意，由题干的图形可得：，，
，，
，
根据题意，，
，
，
，
……，
由此类推：
则

证明：由的结论，，
当时，，
则
又由，
故命题成立． 

【解析】根据列举法找规律，得到的值；
同样根据列举法找规律，根据累加法得到的表达式；
根据的结果，代入可得，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式．
本题考查数列的求和以及实际应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由椭圆方程可知，，，
在双曲线上，
，
，，
双曲线的方程；
设点P在双曲线的右支上，并且设，，
，
，
的面积 

【解析】首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；
结合余弦定理和双曲线的定义，求
本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当时，，，
，切点为，
，切线斜率，
切线方程为；
，
当时，，在单调递增，
，，
，，，
令，，，
在上单调递增，且，，
，使得，即，
也即，
令，，，显然时，，单调递增，
，即，
当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，

，，都有，，得，
故实数a的取值范围为 

【解析】利用导数可得曲线在点处的切线的斜率，从而可得切线方程；
问题可转化为，根据函数的单调性分别求出的最大值和的最小值，即可求出a的范围．
本题考查了利用导数求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查转化思想、推理运算能力，属于难题．