2022-2023学年天津市和平区耀华中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津市和平区耀华中学高二（上）期末数学试卷

1.  抛物线的准线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知数列满足，，则(    )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3.  已知等差数列的前n项和为，，，则(    )

A. 55 B. 60 C. 65 D. 75

4.  直线l：与圆C：交于A，B两点，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 4

5.  若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  双曲线上的点P到左焦点的距离为9，则P到右焦点的距离为(    )

A. 5 B. 1 C. 1或17 D. 17

7.  已知数列满足，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个直角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C. 2 D.

9.  等差数列的前n项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

10.  数列的前n项和，则数列中的最大项为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  设数列的通项公式为，其前n项和为，则(    )

A. 4041 B.  C.  D.

12.  已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D. 3

13.  若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.

14.  记为等比数列的前n项和．若，，则______.

15.  设为公比的等比数列的前n项和，且，，成等差数列，则______.

16.  如图，在正方体中，E为的中点，则平面与平面的夹角余弦值为______.

17.  已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边的面积为，则的面积为______.

18.  已知等比数列的首项为，公比为，前n项和为，则当时，的最大值与最小值之和为______.

19.  已知等比数列的公比和等差数列的公差都为q，等比数列的首项为2，且，，成等差数列，等差数列的首项为
求和的通项公式；
求数列的前n项和

20.  已知椭圆C：的右焦点为，离心率
求C的方程；
过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点、若，求1的方程．

21.  已知数列，的各项都是正数，是数列的前n项和，满足；数列满足，，
求数列和的通项公式；
记，数列的前2n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由题意得：，解得：，
故的准线方程为：
故选：
根据求解即可．
本题考查了抛物线的简单几何性质，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：数列满足，，
，
，
故选：
根据递推公式逐步赋值，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查运算能力，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：设等差数列的公差为d，
，，
，解得，，

故选：
根据已知条件，先求出首项与公差，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：圆的方程即，
则圆心到直线l的距离，
由圆的弦长公式可得
故选：
首先将圆的方程写成标准型，然后结合点到直线距离公式和圆的弦长公式求解弦长即可．
本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：数列1，，，4成等差数列，，
，，，，4成等比数列，，且，
，
故选：
由已知结合等差数列与等比数列的性质分别求得与，再求出即可．
本题考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：设双曲线的左焦点、右焦点分别为，，
由双曲线的定义可得：，
又，
则或，
又，
则，
即点P在双曲线的左支上，
则，
即，
故选：
由双曲线的性质，结合双曲线的定义求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属基础题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：，
当时，，当时，，，显然的最小值是，
又，
，即的最小值是，
故选：
根据已知条件得出最小项为，利用累加法，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图所示，

抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为，，
由题得，，所以，
所以，
，，
所以，
故选：
抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为，，由题得，化简即得解．
本题主要考查了双曲线，抛物线的定义和简单性质，主要考查了离心率的求法，解答关键是利用抛物线和双曲线的定义．
 

9.【答案】B 

【解析】解：设等差数列的公差为d，
，，
，解得，
，
，

故选：
根据已知条件，先求出首项与公差，即可求出，再结合裂项相消法，即可求解．
本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：当时，
当时，由，得，
则
当时，满足上式；
所以
设，则
设数列中的第项最大，则应满足，
即，整理可得，
解得，又，所以，所以，
又
所以数列中的最大项为
故选：
根据与的关系，可得到，设，通过求解，解出正整数k，即可求得数列中的最大项．
本题主要考查了根据数列的递推关系求通项公式和数列的函数特性，属于中档题．
 

11.【答案】D 

【解析】解：，
当或，时，，；
当，时，，；
当，时，，，
，
，
故选：
根据题意，分类讨论或，时，，，时，，，时，，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】A 

【解析】解：不妨设交点P在第一象限，设，，
则，，，其中，，
化为，，
，
化为，
，
，解得，当且仅当时取等号．
故选：
不妨设交点P在第一象限，设，，可得，，，其中，，化简即可得出结论．
本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
解得，
故答案为：
由题意可得：，，解得
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】60 

【解析】解：设等比数列的公比为q，
当时，显然不成立，
当时，，，
，解得，，

故答案为：
设出公比，再结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．
 

15.【答案】10 

【解析】解：由题意，，解得舍或，

故答案为：
利用等比数列、等差中项列方程，可解出q，则可由求值．
本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在正方体中，则建立以A为原点，以AD、AB、所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体的棱长为2，则，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
，
故答案为：
根据棱柱的结构特征，建立以A为原点，以AD、AB、所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则，，，利用向量法，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】 

【解析】解：作出图形，如图所示：
为等边三角形，且面积为，
，解得，
，，

由焦半径公式得，解得，
抛物线，直线AB的方程为，
联立方程，整理得，解得，，
又，
，
，
故答案为：
由题意得，根据，得，根据焦半径公式得，联立抛物线与直线AB的方程得，又，求解即可得出答案．
本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
当n为奇数时，，，
当n为偶数时，，
对于任意，
令，，则在上单调递增，
的最小值为，的最大值为，
的最小值为，最大值为，
的最大值与最小值之和为
故答案为：
根据等比数列的求和公式求出，分n为奇数或偶数计算出的范围，从而得出的最大值与最小值．
本题考查了等比数列的求和公式，以及数列的函数的特征，属于中档题．
 

19.【答案】解：等比数列的公比和等差数列的公差都为q，等比数列的首项为2，且，，成等差数列，
所以：，整理得：，
即，解得，所以，
由；
则…①，
…②，
①-②得：，…，
，
 

【解析】直接利用数列的通项公式即可；
利用的结论，进一步利用错位相减法在数列求和中的应用即可．
本题考查数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：依题意，，解得，
所以椭圆C的方程为；
设直线l的方程为，，，
联立，消去x并整理可得，，
由于直线过椭圆焦点，则直线l与椭圆必有两个交点，
由根与系数的关系可知，①②，
又，则③，
由①②③可得，，
所以直线l的方程为 

【解析】根据题意建立关于a，b，c的方程组，解出后即可得到答案；
设直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理以及又，即可求得m的值，进而得到直线l的方程．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：依题意，根据，得，
又，，得，
当时，，
当时，适合上式，
所以数列的通项公式，
所以，，
又因为，所以数列为等比数列，
所以，解得或舍去，
所以
由题意可知，，
由已知，，
可得，
设的前2n项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，
所以，，
当n为奇数时，，
所以，
当n为偶数时，，
所以，
由，得，
即，
当n为偶数时，对一切偶数成立，所以，
当n为奇数时，对一切奇数成立，所以此时，
故对一切恒成立，则，
所以的取值范围是 

【解析】将条件进行因式分解，计算可得，利用与的关系可得数列的通项公式，由条件推得数列为等比数列，求出公比q，代入等比数列通项公式计算即可；
首先求出，设的前2n项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，当n为奇数时，计算，当n为偶数时，计算，分离参数，转化为的最值问题求解．
本题考查了利用数列的递推式求通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．