2022-2023学年天津一中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年天津一中高二（上）期末数学试卷

1.  已知直线：，：，若，则实数(    )

A.  B.  C. 0 D. 1

2.  若圆截直线所得弦长为2，则实数m的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则(    )

A. 12 B. 20 C. 28 D. 30

4.  与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知、分别为双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，：：：3：4，则双曲线E的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知等差数列，是其前n项和，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设是等比数列的前n项和，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若等差数列的前n项和为，，，则当取得最小值时，n的值为(    )

A. 4 B. 6 C. 7 D. 8

9.  已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知F是双曲线C：的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若，则双曲线C的离心率为(    )

A. 2 B.  C.  D.

11.  圆C的圆心为，且圆C与直线相切，则圆C的方程为______.

12.  设抛物线的准线与直线的距离为3，则抛物线的方程为______.

13.  等比数列中，，是方程的两根，则的值为______.

14.  已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为则直线l的斜率为______.

15.  已知各项为正数的数列的前n项和为，且，，则数列的通项公式为______.

16.  已知等差数列中，，，记数列的前n项和为，若对任意的都成立，则实数m的取值范围为______.

17.  若数列的前n项和为，且，等差数列满足，
求数列，的通项公式；
设，求数列的前n项和

18.  已知数列，，满足，，且
求数列，的通项公式；
记，求证：

19.  已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A在椭圆C上，，，过与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点．
求椭圆C的方程；
已知点，且，求直线l的方程．

20.  已知数列中，，，，数列的前n项和为
求数列的通项公式；
若，求数列的前n项和；
在的条件下，设，求证：

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：已知直线：，：，若，
则两直线的斜率相等，在y轴上的截距显然不相等，
，
故选：
由题意利用两条直线平行的性质，求得k的值．
本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：圆，即，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以弦长为，即，解得
故选：
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：大衍数列满足，，
由已知得：
，
，
，
，

故选：
根据递推关系求得，，，，进而可得答案．
本题考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：椭圆可化为，
可知椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为，
故可设所求椭圆方程，则，
又，即，所以，
则所求椭圆的标准方程为
故选：
利用条件求得所求椭圆的a、b值即可得到其标准方程．
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：：：：3：4，
，，，
由定义可得，即，
，
，
双曲线E的渐近线方程为
故选：
根据定义可得，再根据即可求出，可得双曲线E的渐近线方程为
本题考查了双曲线的定义和渐近线方程，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：设数列的公差为d，由题意可得，
解得，，
，
，
故选：
设数列的公差为d，由题意可得，解得，，再根据通项公式和求和公式即可求出．
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数学运算核心素养．
 

7.【答案】B 

【解析】解：是等比数列的前n项和，，，
，
是等比数列，，，是等比数列，
，
解得，
，

故选：
推导出，，，是等比数列，从而求出，由此能求出的值．
本题考查等比数列的前9项和与前6项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：因为等差数列的前n项和为，，，
所以，，
所以，，
当取得最小值时，
故选：
由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础题．
 

9.【答案】A 

【解析】解：抛物线的准线方程为，
，到准线的距离为4，故A点纵坐标为2，
把代入抛物线方程可得
不妨设A在第一象限，则，
点O关于准线的对称点为，

连接AM，则，于是，
故的最小值为
故选：
求出A点坐标，作O关于准线的对称点M，利用连点之间相对最短得出为的最小值．
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：设C的左焦点为，连接，过作于D，易知：，
在曲线C中，易知：，则，则D为线段FB的中点，
又，，即，得，
则，
即
故选：
设C的左焦点为，连接，过作于D，根据已知及双曲线性质有为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及参数关系求a、c的数量关系，即可得离心率．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：圆C的圆心为，与直线l：相切，
圆心到直线的距离等于半径，即，
圆C的方程为
故答案为：
先求圆心到直线l：的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程；
本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当时，准线方程为，
，
此时抛物线方程为；
当时，准线方程为，
，
此时抛物线方程为
所求抛物线方程为或
故答案为：或
根据抛物线写出它的准线方程，再根据准线与直线的距离为3，对m的正负进行讨论，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程．
此题是个中档题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：等比数列中，，是方程的两根，
，，
又等比数列各奇数项符号相同，各奇数项都为负，，

故答案为：
根据等比数列性质及一元二次方程根与系数关系可解决此题．
本题考查等比数列性质及一元二次方程根与系数关系，考查数学运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，即有，
设，，
则，，
两式相减可得，
由线段AB的中点为，可得，，
则直线l的斜率为
故答案为：
由椭圆的离心率和a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式，可得所求值．
本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，，
得，
，即，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即成立
当时，，
适合上式，
则
故答案为：
由题意可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出，再由求解数列的通项公式．
本题考查数列递推式，考查等差数列通项公式的求法，训练了利用数列的前n项和求通项公式，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为d，
，，
，解得，
等差数列的通项公式为，
数列的通项公式为，
令，
，即，
数列是递减数列，即，
又对任意的都成立，则，解得，
故实数m的取值范围为
故答案为：
设等差数列的公差为d，结合题意求出等差数列的通项公式，则数列的通项公式为，构造，利用作差法可得，数列是递减数列，题意转化为，求解即可得出答案．
本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：①，
当时，，解得，
当时，②，
由①-②得，即，
数列是首项为1，公比为3的等比数列，
，则，
设等差数列的公差为d，
，，则，解得，
；
由得，，则，
③，
④，
由③-④得，
 

【解析】根据与的关系，利用作差法可得数列是首项为1，公比为3的等比数列，求出数列的通项公式，等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式求出d，即可得出答案；
由得，，则，利用错位相减法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查作差法和错位相减法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：数列满足，，
，，
数列是等比数列，首项为1，公比为3，
，
，
时，，
…
…


证明：，
，
… 

【解析】数列满足，，可得，，利用等比数列的通项公式即可得出由，可得时，，利用累加求和方法即可得出
由可得，利用裂项求和方法可得，结合数列的单调性即可证明结论．
本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、累加求和方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由，得，
因为，，
由余弦定理得，
解得，，
，
椭圆C的方程为
因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为，，，
联立，整理得，
由韦达定理知，，
此时，又，则，
，，得到或
则或，MN的直线方程为或 

【解析】通过离心率以及由余弦定理，转化求解椭圆C的方程．
因为直线PQ的斜率存在，设直线方程为，，，联立，由韦达定理求解N，M的坐标，，转化求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，属中档题．
 

20.【答案】解：，，，
当，时，数列的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，则；
当，时，数列的偶数项是首项为2，公差为4的等差数列，则，
；
由得，
，
，
；
证明：由得，则，
时等号成立，
由不等式的性质得，
令，数列的前n项和为，
①，
②，
由①-②得，
，
由不等式的性质得，
故，
令，数列的前n项和为，
③，
④，
由③-④得，
，
由不等式的性质得，
故 

【解析】根据题意分类讨论n是奇数，n是偶数，利用等差数列的定义和通项公式，即可得出答案；
由得，，利用等差数列的求和公式可得，可得，利用裂项相消法，即可得出答案；
由得，则，利用不等式的基本性质可得时等号成立，即，令，数列的前n项和为，利用错位相减法可求出，即可证明结论．
本题考查等差数列的定义和通项公式、裂项求和法和错位相减法，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．