2022-2023学年新疆喀什二中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年新疆喀什二中高二（上）期末数学试卷

1.  已知向量，若，(    )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 6

2.  已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为(    )

A. 127 B. 128 C. 63 D. 64

3.  若为等差数列，其前n项和为，，，则(    )

A. 10 B. 14 C. 16 D. 18

4.  已知直线与圆相交于A，B两点，则弦长的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若1，m，4三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或2

6.  如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知的周长为12，，，则顶点A的轨迹方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则(    )

A.
B. 3
C.
D. 2

9.  已知公差为d的等差数列中，，，其前n项和为，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则(    )

A. 该双曲线的虚轴长为4
B. 该双曲线的焦距为
C. 该双曲线的离心率为
D. 该双曲线的焦点到渐近线的距离为4

11.  已知递减的等差数列的前n项和为，，则(    )

A.
B.
C.
D. 最大

12.  下列选项正确的是(    )

A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C. 直线的倾斜角为
D. 与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条
 

13.  在数列中，，，则______.

14.  已知抛物线方程为，则其准线方程为______.

15.  过点，的直线方程一般式为______.

16.  已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为______.

17.  如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AM的长为2，且AM和AB，AD的夹角都是，N是CM的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求BN的长．

18.  已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点，，
求此圆的标准方程；
设为圆C上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值．

19.  已知等差数列中，，
求的通项公式；
求的前n项和的最大值．

20.  已知抛物线C：的焦点为F，第四象限的一点在C上，且
求C的方程和m的值；
若直线l交C于A，B两点，且线段AB中点的坐标为，求直线l的方程．

21.  已知数列的前n项和为，且数列是等比数列，，
求，的通项公式；
求数列的前n项和

22.  在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点，且离心率
求椭圆C的方程；
直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：，若，
则，即
故选：
由已知结合空间向量垂直的坐标运算求解．
本题考查空间向量垂直的坐标运算，是基础题．
 

2.【答案】A 

【解析】解：等比数列的前n项和为，，，
，解得，，
则
故选：
利用等比数列通项公式列方程组，求出首项和公比，再由等比数列前n项和公式能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：为等差数列，其前n项和为，，，
由等差数列的性质得，，成等差数列，
，
，
解得
故选：
利用由等差数列的性质得，，成等差数列，由经能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线：的距离，
弦AB的长为，
故选：
根据已知求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，是中档题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：，m，4三个数成等比数列，
，解得，
当时，则圆锥曲线，即，则，，则，
当时，则圆锥曲线，即，则，，，则，
故选：
由题意得，解得，分类讨论，，即可得出答案．
本题考查圆锥曲线的标准方程和性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：因为在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，，
以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，，
所以异面直线CD与所成角的余弦值为
故选：
以C为坐标原点建立空间直角坐标系，由，，即可得解．
本题考查异面直线的夹角，熟练掌握利用空间向量数量积求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：周长为12，，，
，，
顶点A的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，不含x轴上的顶点，
又，可得，
顶点A的轨迹方程为：
故选：
推导出顶点A的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，不含x轴上的顶点，由此能求出顶点A的轨迹方程．
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：设Q到l的距离为d，则，
，
，
不妨设直线PF的斜率为，
，
直线PF的方程为，
与联立可得，
，
故选：
求得直线PF的方程，与联立可得，利用可求．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
 

9.【答案】ABD 

【解析】解：公差为d的等差数列中，，，其前n项和为，
则，解得，，故B正确；
，故A正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：
利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：依题意，可设双曲线方程为，
且，解得，
双曲线方程为，
则双曲线的虚轴长为，焦距为，离心率为，焦点到渐近线的距离为
故选：
根据题意求得双曲线的方程，再根据双曲线的性质逐项分析判断即可．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：，
，
，
为递减的等差数列，
，
，故A正确；
，故B错误；
，
，故C正确；
，，
最大，故D正确．
故选：
根据题意可得，由，可得，根据求和公式和通项公式即可判断．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，直线，即，恒过定点，A正确；
对于B，圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离，
则圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B正确；
对于C，直线，其斜率，其倾斜角为，C正确；
对于D，与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有4条，D错误；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查直线的方程，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：在数列中，，，
则，
则，
故答案为：
结合数列递推式求数列的项即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的项，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，则标准方程为：
则其准线方程为：
故答案为：
利用抛物线的性质，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点，的直线斜率，
方程为，
化为一般式为
故答案为：
利用点斜式可得方程，再化为一般式即可．
本题考查了点斜式、一般式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为当P为椭圆上的短轴端点时，的最大，
当的最大值为，则
则椭圆的离心率为
故答案为：
利用当P为椭圆上的短轴端点时，的最大，即可求解．
本题考查椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．
 

17.【答案】解：因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，
所以，
由题意，可得，，，，，
因此，
所以，即BN的长为 

【解析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果．
本题考查了空间向量的运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】解：此圆的圆心为，半径，
此圆的标准方程为
圆心到直线的距离，
则到直线的距离的最大值为；
最小值为 

【解析】此圆的圆心为，半径，即可得出此圆的标准方程．
利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，即可得出到直线的距离的最大值为；最小值为
本题考查了圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：等差数列中，，，
，
解得，，
的通项公式；
，
或时，的前n项和取最大值 

【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出的通项公式；
求出，由此能求出的前n项和的最大值．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：由抛物线的定义可知，，解得，
所以抛物线C的方程为，则，解得；
设，，则，
两式相减可得，，
所以，即直线l的斜率为2，
则由点斜式可得，直线l的方程为，即 

【解析】由抛物线的定义结合，可得，进而得解；
利用点差法直接求解即可．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查点差法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
当时，，
又，也满足上式，
，
又数列是等比数列，，，
，，
；
由知，
，
，


，
 

【解析】将数列的和式作差，即可求出数列的通项公式，再利用方程思想及等比数列的通项公式，即可求出的通项公式；
根据错位相减法即可求解．
本题考查由数列的和式求通项，等比数列的通项公式的应用，错位相减法求和的应用，属中档题．
 

22.【答案】解：因为，
所以，①
因为椭圆C过点，
所以，②
由①②解得，，
所以椭圆的方程为
设直线l的方程为，，，
联立，得，
所以，，
又直线l与椭圆相交，
所以，解得，
则，
点P到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即时，的面积取得最大值为 

【解析】根据题意可得①，把点坐标代入椭圆方程，可得②，由①②解得，，即可得出答案．
设直线l的方程为，，，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，计算弦长，点P到直线l的距离d，再利用基本不等式即可得出的最大值．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．