2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共17页。试卷主要包含了 直线l， 已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津外国语大学附属外国语学校高二（上）期末数学试卷1.  双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 2.  抛物线的准线方程为(    )A.  B.  C.  D. 3.  若数列中，，，则(    )A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.  直线l：被圆O：截得的弦长为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，，则(    )A. 7 B. 4 C. 1 D. –26.  如图，在三棱锥中，底面ABC，，，，D为棱SA的中点，则异面直线SB与DC所成角的余弦值为(    )A.
B.
C.
D. 7.  设是等差数列的前n项和，若，则的值是(    )A. 10
B. 20
C. 30
D. 60
 8.  已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为(    )A.
B.
C.
D. 29.  已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线上，，则点P的横坐标为(    )A. 5
B. 8
C. 4
D. 6
 10.  已知数列满足，则数列的前2023项之和为(    )A.
B.
C.
D.
 11.  如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为(    )A.  B.  C.  D. 12.  如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱AB的中点，则平面与平面所成角的正弦值为(    )A.
B.
C.
D. 13.  已知等比数列的前n项和为，若，则的公比(    )A.
B.
C. 或1
D. 或1
 14.  已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为(    )A.
B.
C.
D.
 15.  已知数列的通项公式为：，，则数列的前100项之和为(    )A.
B.
C.
D.
 16.  已知双曲线H：，以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为4a，则双曲线的方程为(    )A.
B.
C.
D. 17.  过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线C交于两点A，B，若，则直线l的斜率(    )A.
B.
C.
D. 18.  已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是(    )A.
B.
C.
D. 19.  已知抛物线的焦点坐标为，则p的值为______.
 20.  已知等差数列的前5项和，，则______.
 21.  设双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，则______
 22.  已知过抛物线C：的焦点F且与x轴垂直的直线与抛物线交于A、B两点，则______.
 23.  已知数列的通项公式为：，，前n项和为，则______.
 24.  已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为______.
 25.  设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，已知
求椭圆的离心率e；
设直线l与椭圆有唯一公共点在第一象限中，与y轴交于N，，其中O为坐标原点，
求直线l的斜率；
若，求椭圆的方程．
26.  已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前2n项和；
设，，证明：
答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由双曲线，可得，，
双曲线的离心率，
故选：
利用双曲线的离心率，即可得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 2.【答案】B 【解析】解：由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴，且，即，
故抛物线的准线方程为
故选：
由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：，，
，，
故选：
根据数列的递推式，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：由圆O：，得圆心，半径，
圆心O到直线l：的距离，
弦长
故选：
求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力，属基础题．
 5.【答案】C 【解析】解：设的公差为d，的公比为q，由题意，
由已知可得：，消去d得，
解得，，
，，
则
故选：
设的公差为d，的公比为q，由题意，利用等差数列与等比数列的通项公式列式求解d与q，进一步求解得答案．
本题考查等差数列与等比数列通项公式，考查计算能力，是基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，，，，D为棱SA的中点，
以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，
，，
，
则异面直线SB与DC所成角的余弦值为
故选：
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SB与DC所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 7.【答案】B 【解析】解：因为等差数列中，，
所以，
则，
故选：
由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 8.【答案】C 【解析】解：由题意可知，双曲线的渐近线的方程为，即，
一条渐近线与圆相切，
，
，
，
，
故选：
利用渐近线与圆相切，求出a，b的关系，从而求双曲线的离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
 9.【答案】D 【解析】解：抛物线C：的焦点，准线l：，
令点P的横坐标为，由抛物线定义得，解得，
所以点P的横坐标为
故选：
根据给定条件，利用抛物线定义求解作答．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 10.【答案】A 【解析】解：由题意，可得，
则数列的前2023项之和为：




故选：
先根据题干已知条件计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前2023项之和，可得正确选项．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 11.【答案】C 【解析】解：以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，

则，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
令，，，，
直线与平面所成的角为，
，
故选：
以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查直线与平面所成的角，是中档题．
 12.【答案】B 【解析】解：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，设平面的法向量，
，则，
令，则，，
，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值
故选：
建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题．
本题考查了二面角的计算，属于中档题．
 13.【答案】B 【解析】解：由于等比数列的前n项和为，若，
所以，整理得，解得
故选：
直接利用等比数列的性质求出结果．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 14.【答案】A 【解析】解：由题意，可得数列的前100项之和为：






故选：
本题根据数列的通项公式的特点可运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式计算出数列的前100项之和，得到正确选项．
本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 15.【答案】B 【解析】解：由题意，设数列的前n项和为，
则，
，
两式相减，
可得


，
，

故选：
先设数列的前n项和为，再根据数列的通项公式的特点运用错位相减法推导出数列的前n项和的表达式，最后代入即可计算出前100项之和，得到正确选项．
本题主要考查运用错位相减法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 16.【答案】B 【解析】解：联立，解得，，
由题意可得四边形ABCD为矩形，
，
解得，
双曲线的方程为，
故选：
联立，解得，，由题意可得，即可得出双曲线的方程．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质、矩形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】A 【解析】解：抛物线C：的焦点，显然直线l不垂直于y轴，
设直线l的方程为，由消去x并整理得：，
设，，则，，
由得：，而，则有，，
因此，解得，则，
所以直线l的斜率
故选：
根据给定条件，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
 18.【答案】B 【解析】解：由，可得数列递增，
当n为偶数时，的最小值为；
当n为奇数时，的最小值为
若对任意的正整数n，不等式恒成立，
可得n为奇数时，恒成立，即有，可得；
n为偶数时，恒成立，即有
所以实数c的取值范围是
故选：
判断数列递增，分别求得n为奇数和偶数时的最小值，再由不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查数列的单调性的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 19.【答案】8 【解析】解：因为抛物线的焦点坐标为，所以，即
故答案为：
根据抛物线的焦点即可得解．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 20.【答案】11 【解析】解：等差数列的前5项和，，
所以，解得，
故，
所以
故答案为：
直接利用等差数列的性质和求和公式建立方程组，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：等差数列的性质和求和公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 21.【答案】 【解析】解：由双曲线，可得，
点P在双曲线的右支上，
，
故答案为：
利用双曲线的标准方程及其定义即可得出结论．
本题考查了双曲线的标准方程及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 22.【答案】8 【解析】解：抛物线C：的焦点，则直线AB：，
由得：，所以
故答案为：
根据给定条件，求出直线AB的方程，即可计算作答．
本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
 23.【答案】800 【解析】解：由题意，当n为奇数时，为偶数，
则


，
故





故答案为：
本题根据通项公式的特点可先计算出当n为奇数时的表达式，再运用分组求和法及等差数列的求和公式即可计算出的值．
本题主要考查运用分组求和法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 24.【答案】 【解析】解：设，因为，故，所以①，因为在双曲线上，所以②，
由①②可得，，由于双曲线的对称性，不妨设，
①直线MN斜率不存在时，
可设，，，
，，
又且，，
，解得，，
，D为垂足，，
②直线MN斜率存在时，设直线MN：，由，
整理得，
设，，则，，
因为，所以，
得，
所以，
得，即，
当即时，直线MN：过定点，不符合题意；
当即时，直线MN：过定点，
综上，点D在以PH为直径的圆上，，线段PH的中点为，
所以点D的轨迹方程为，
故可设D的坐标为，
所以其中，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：
先利用和双曲线方程求出P的坐标，由于双曲线的对称性，取，接着讨论直线MN斜率不存在和存在两种情况，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出k，m的关系，说明直线MN过点，即可得到点D的轨迹方程为，故设，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案．
本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属难题．
 25.【答案】解：因为，所以，
所以，所以，所以，
所以，
椭圆的离心率；
由可知椭圆为，即，
设直线l：，联立，消去y可得：，
又直线l与椭圆只有一个公共点，
所以，所以，
又，所以，
又，所以，
解得，所以，在第一象限，故；
由可得，，
又M在第一象限，，，，
，，
解得，，
椭圆的方程为 【解析】根据，即可求得，即可求得椭圆的离心率；
由可知，椭圆方程可转化为，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用及，即可求得k的值；
利用可得点M，N的坐标，结合已知可求得a和b的值，求得椭圆方程．
本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属中档题．
 26.【答案】解：设等比数列的公比为q，，且，，成等差数列．
，
，
，，
解得，

，
；
，
数列的前2n项和
证明：，，
，
数列的前n项和为
时，，
数列的前n项和…
时，，
数列的前n项和…，
，
 【解析】设等比数列的公比为q，由，且，，成等差数列．可得，利用通项公式可得公比q，即可得出
由，可得，，即可得出数列的前2n项和
，，，通过放缩，利用裂项求和方法、求和公式即可证明结论．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．