2022-2023学年重庆三十七中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年重庆三十七中高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共15页。试卷主要包含了 若直线l1， 圆O1， 设F1，F2分别为双曲线C， 过点P的直线l与直线l1等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆三十七中高二（上）期末数学试卷1.  若直线：与直线：平行，则实数a的值为(    )A.  B.  C. 2 D. 12.  已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为(    )A.  B.  C.  D. 3.  记等差数列的前n项和为，已知，，则(    )A. 2 B. 1 C. 0 D. 4.  若点为圆的弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为(    )A.  B.  C.  D. 5.  圆：与圆：的位置关系为(    )A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切6.  已知数列的前n项和满足，则(    )A. 72 B. 96 C. 108 D. 1267.  法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P、Q两点，若面积的最大值为34，则椭圆C的长轴长为(    )A.  B.  C.  D. 8.  设，分别为双曲线C：的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，如图，则该双曲线的离心率为(    )A.
B.
C. 2
D. 9.  过点的直线l与直线：平行，则下列说法正确的是(    )A. 直线l的倾斜角为
B. 直线l的方程为：
C. 直线l与直线间的距离为
D. 过点P且与直线l垂直的直线为：
 
 10.  已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，则下列说法正确的是(    )A.
B.
C.
D. 当时，取得最小值
 11.  如图，在正方体中，E为的中点，则(    )A. 平面BEC
B. 平面BEC
C. 平面平面BEC
D. 直线与平面BEC所成角的余弦值为12.  已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则(    )A.
B. 四边形ABCD面积最小值为64
C.
D. 若，则直线CD的斜率为13.  已知空间向量，若，则实数x的值为______.14.  “二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为尺，芒种的日影子长为尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是______尺．15.  已知点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，则的最小值为______.16.  我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等．已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.17.  在等差数列中，已知且
求的通项公式；
设，求数列的前n项和18.  如图所示，四棱锥的底面ABCD是矩形，底面ABCD，，，，
证明：平面ABP；
求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
19.  已知圆C经过和两点，且圆心在直线上．
求圆C的方程；
从点向圆C作切线，求切线方程．20.  已知椭圆经过
求椭圆E的方程；
若直线l：交椭圆E于不同两点A，B，O是坐标原点，求的面积．21.  已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
若恒成立．求实数的最大值．22.  已知抛物线C：，O为坐标原点，过焦点F的直线l与抛物线C交于不同两点A，
记和的面积分别为，，若，求直线l的方程；
判断在x轴上是否存在点M，使得四边形OAMB为矩形，并说明理由．
答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：因为直线：与直线：平行，
所以，所以
经检验，当时，满足题意．
故选：
根据两直线平行，建立关于a的方程，再求出a的值即可．
本题主要考查了两直线平行的性质，属于基础题．
 2.【答案】C 【解析】解：由题知双曲线中，，
所以，，双曲线焦点在y轴上，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：
根据双曲线几何性质解决即可．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 3.【答案】D 【解析】解：，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
故选：
根据分别可以求出，的值，根据，的值可以求出公差d再根据，d的值可以求出
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
 4.【答案】A 【解析】解：的圆心为，半径，
因为为圆的弦AB的中点，
所以圆心O与点P确定的直线斜率为，
因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，
所以弦AB所在直线的斜率为，
所以弦AB所在直线的方程为：，
即
故选：
根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 5.【答案】B 【解析】解：由圆：可得：圆心，半径，
由圆：可得：圆心，半径，
则，所以两圆是外切关系，
故选：
利用圆的方程分别求出圆心以及半径，然后求出圆心距与半径差比较，进而可以求解．
本题考查了两圆的位置关系的求解，属于基础题．
 6.【答案】B 【解析】解由题意可得，①
当时，，②
①-②得，即，
又，可得，易知，
故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以，
故，
故选：
根据由求的方法可求的通项公式，进而求解结论．
本题主要考查数列的通项公式，属于基础题．
 7.【答案】C 【解析】解：由题意可知椭圆C的蒙日圆的半径为，因为，所以PQ为蒙日圆的直径，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，
由面积的最大值为34，所以，，
故椭圆的长轴长为，
故选：
求得椭圆的蒙日圆的半径，求得，且满足，利用基本不等式的求得的最大值，求得面积的最大值，即可求得a的值，求得椭圆的长轴长．
本题考查椭圆的标准方程及性质，蒙日圆及基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
 8.【答案】D 【解析】解：依题意得，以线段为直径的圆的方程为，
双曲线C的一条渐近线的方程为
由  以及，
解得 或 ，
不妨取，则
因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以该双曲线的离心率，
故选：
联立与求出，进而的正切可求，得出a与b的关系，从而进一步解出答案．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】BCD 【解析】解：直线l与直线：平行，
则直线l的斜率为，即直线l的倾斜角为，故A错误，
设直线l的方程为，
直线l过点，
则，解得，
故直线l的方程为，故B正确，
直线l与直线间的距离为，故C正确，
过点P且与直线l垂直的直线可设为，
代入可得，，解得，
故过点P且与直线l垂直的直线为：，故D正确．
故选：
对于A，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；
对于B，结合直线平行的性质，即可求解；
对于C，结合两平行直线的距离公式，即可求解；
对于D，结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行与垂直的性质，属于基础题．
 10.【答案】ACD 【解析】解：因为，
所以，，
对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误；
对于C，因为，所以，故选项C正确；
对于D，因为，，可知，，等差数列为递增数列，
当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确．
故选：
根据题干条件利用可得到，，，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误．
本题主要考查了等差数列的性质，求和公式的综合应用，属于中档题．
 11.【答案】ACD 【解析】解：A选项：因为，平面BEC，平面BEC，
所以平面BEC，故A正确；
B选项：显然与BE不垂直，故B错误；
C选项：因为平面，平面BEC，
所以平面平面BEC，故C正确；
D选项：如图，取AB的中点F，连接，易证≌，
所以，
因为，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
因为，BE，平面BEC，
所以平面BEC，
因为，
所以与平面BEC所成角即为与平面BEC所成角，大小为，
所以，故D正确，
故选：
对于ABC，由正方体特征判断即可；对于D，取AB的中点F，连接，得，由，得平面BEC，因为，所以与平面BEC所成角即为与平面BEC所成角，大小为，即可判断．
本题主要考查空间线面的位置关系，直线与平面所成的角，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 12.【答案】ACD 【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，由题意可得直线AB，CD的斜率存在且不为0，
设直线CD的方程为：，设，，
联立，整理可得：，
显然，，，，，
所以，所以A正确；
由于，，
所以将中的m换成代入中得 ，，当且仅当时等号成立，所以四边形的最小面积为32，所以B不正确；
设，，
若，即，
整理可得，
即，解得，即，而直线CD的斜率，
所以直线CD的斜率为，所以D正确；
可得弦长，，
所以，所以C正确；
故选：
由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，解得
故答案为：
利用向量垂直的性质列方程求出x的值即可．
本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．
 14.【答案】40 【解析】解：设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，
设公差为d，则，，
所以，则，
所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为
故答案为：
把对应的十二节气分别对应成等差数列的前12项，相当于已知，，求解
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 15.【答案】6 【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
过点P作直线的垂线，垂足为点E，
由抛物线的定义，得，，
当点A、P、E三点共线时，即当AP与直线垂直时，
取得最小值，且最小值为
故答案为：
过点P作直线的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可知，当点A、P、E三点共线时，取得最小值，再求出最小值即可．
本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：①双曲线为等轴双曲线，如图所示，以直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，设此坐标系的标准方程为：
与联立解得，，设，则，，因此双曲线的焦距为
②根据抛物线的焦点为，
，其图象所表示的抛物线焦点坐标为，即
故答案为：8，
①双曲线为等轴双曲线，如图所示，以直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，设此坐标系的标准方程为：与联立解得P坐标，可得a，b，即可得出
②根据抛物线的焦点为，即可得出结论．
本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，，
所以，，
所以公差，
所以的通项公式为
，
所以…… 【解析】由等差中项的性质求得，的值，再由求得公差d，最后根据等差数列的通项公式，得解；
采用裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差中项性质，等差数列的通项公式，以及裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：证明：底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，且底面ABCD为矩形，
，，，则建立以B为原点，以BC、BA、BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示：
，，，，则，，，，，，，，，
则，
又平面ABP，在平面ABP的一个法向量为，
，即，
又平面ABP，
平面ABP；
由得，，，
设平面ADF的一个法向量为，
则，取，则，，
平面ADF的一个法向量为，
设直线PC与平面ADF所成角为，
，，
故直线PC与平面ADF所成角的正弦值为 【解析】由题意得，，，则建立以B为原点，以BC、BA、BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法，即可证明结论；
由得，，，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面平行与直线与平面的夹角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】解：由题可知，所以线段AB的中垂线的斜率等于1，
又因为AB的中点为，
所以线段AB的中垂线的直线方程为，
即，
联立，解得，所以圆心，
又因为半径等于，所以圆C的方程为
设圆C的半径为r，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为k，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即
所以切线方程为或 【解析】根据弦的中垂线过圆心，联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解；
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
 20.【答案】解：由题意得：，
解得：，，
即椭圆E的方程为；
记，，
此时AB的方程为，
由，消去x得，
所以，
设直线l与x轴交于点，则 【解析】将两点坐标代入椭圆方程中，求出a，b的值，可求出椭圆的方程；
直线l方程与椭圆方程联立，消去x，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，，设直线l：与x轴交于点P，利用进行求解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的标准方程．
 21.【答案】解：依题意，，当时，，解得，
当时，，，两式相减得，
因此，则，
则是以为首项，2为公比的等比数列，有，显然满足上式，
所以数列的通项公式为
由可知，，因，整理得：，
令，则，
显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的，
于是得，依题意，恒成立，即有，
所以实数的最大值为 【解析】根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构造数列求解作答．
由已知结合的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答．
本题主要考查数列与不等式的综合，数列的递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：设直线l方程为，，，
联立，消去x得，
得①，②，
又因为，则③，
由①②③解得，
即直线l的方程为，即；
假设存在点M，使得四边形OAMB为矩形，
则OM，AB互相平分，
所以线段AB的中点在x上，则轴，
此时，，，
则不成立．
故在x轴上不存在点M，使得四边形OAMB为矩形． 【解析】设直线l方程为，，，利用韦达定理及计算可得答案；
假设存在点M，使得四边形OAMB为矩形，根据抛物线的性质推出不成立，则可得不存在点M，使得四边形OAMB为矩形．
本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．