初中数学中考复习 中考数学总复习第1部分第三章函数第七节二次函数的综合应用要题随堂演练

二次函数的综合应用

要题随堂演练

1．(2018·莱芜中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，求线段DE长度的最大值；

(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB＝90°，OA＝，抛物线y＝ax2－ax－a经过点B(2，)，与y轴交于点D.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；

(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

3．(2018·自贡中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．

(1)求直线AD及抛物线的表达式；

(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

1．解：(1)由已知得解得

∴y＝－x2＋x＋3.

(2)设直线BC的表达式为y＝kx＋b，

∴解得∴y＝－x＋3.

设D(a，－a2＋a＋3)，(0<a<4)．

如图，过点D作DM⊥x轴，交BC于点M，

∴M(a，－a＋3)，

∴DM＝(－a2＋a＋3)－(－a＋3)＝－a2＋3a.

∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠COB，

∴△DEM∽△BOC，

∴＝.

∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，

∴DE＝DM，

∴DE＝－a2＋a＝－(a－2)2＋，

∴当a＝2时，DE取最大值，最大值是.

(3)假设存在这样的点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等．

∵F为AB的中点，∴OF＝，tan∠CFO＝＝2.

如图，过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G，过点G作GH⊥x轴，垂足为H.

①若∠DCE＝∠CFO，∴tan∠DCE＝＝2，∴BG＝10.

∵△GBH∽△BCO，∴＝＝，

∴GH＝8，BH＝6，

∴G(10，8)．

设直线CG的表达式为y＝kx＋b，

∴解得

∴y＝x＋3，

∴解得x＝或x＝0(舍)．

②若∠CDE＝∠CFO，同理可得BG＝，GH＝2，

BH＝，

∴G(，2)．

同理可得直线CG的表达式为y＝－x＋3，

∴解得x＝或x＝0(舍)．

综上所述，存在D使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，其横坐标是或.

2．解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式得

＝a×22－2a－a，解得a＝.

∴抛物线的表达式为y＝x2－x－.

(2)如图，连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，

则∠BCF＋∠CBF＝90°.

∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCF＝90°，

∴∠ACO＝∠CBF.

∵∠AOC＝∠CFB＝90°，∴△AOC∽△CFB，

∴＝.

设OC＝m，则CF＝2－m，则有＝ ，

解得m＝1，∴OC＝CF＝1.

当x＝0时，y＝－，∴OD＝，∴BF＝OD.

∵∠DOC＝∠BFC＝90°，∴△OCD≌△FCB，

∴DC＝CB，∠OCD＝∠FCB，

∴点B，C，D在同一直线上，

∴点B与点D关于直线AC对称，

∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

(3)如图，过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为

y＝kx＋b，

则解得

∴直线AB的表达式为y＝－x＋.

代入抛物线的表达式得－x＋＝x2－x－.

解得x＝2或x＝－2.

当x＝－2时，y＝－x＋＝，

∴点E的坐标为(－2，)．

∵tan∠EDG＝＝＝，

∴∠EDG＝30°.

∵tan∠OAC＝＝＝，∴∠OAC＝30°，

∴∠OAC＝∠EDG，∴ED∥AC.

3．解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函数表达式得

解得

∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.

当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3，解得y＝－3，

即D(－2，－3)．

设AD的表达式为y＝kx＋b，将A(1，0)，D(－2，－3)代入得解得

∴直线AD的表达式为y＝x－1.

(2)设P点坐标为(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)，

l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，

化简得l＝－m2－m＋2，

配方得l＝－(m＋)2＋，

∴当m＝－时，l最大＝.

(3)由(2)可知，0＜PQ≤.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ.

∵R是整点，D(－2，－3)，∴PQ是正整数，

∴PQ＝1或PQ＝2.

当PQ＝1时，DR＝1，

此时点R的横坐标为－2，

纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，

∴R(－2，－2)或(－2，－4)．

当PQ＝2时，DR＝2，

此时点R的横坐标为－2，

纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，

即R(－2，－1)或(－2，－5)．

当PQ为对角线时，PD∥QR，且PD＝QR.

设点R的坐标为(n，n＋m2＋m－3)，则QR2＝2(m－n)2.

又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，

∴PD2＝2(m＋2)2，

∴(m＋2)2＝(m－n)2，

解得n＝－2(不符合题意，舍去)或n＝2m＋2，

∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)．

∵R是整点，－2＜m＜1，

∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；

当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．

综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．