初中数学中考复习 专题01 实数与二次根式【考点精讲】（原卷版）

【考点1】实数的概念与正负数的意义

1．实数：有理数与无理数统称为实数。实数与数轴上的点一一对应。实数的分类如下：

① 按定义分：

② 按大小分：实数可分为正实数、零、负实数.

2．正负数的意义：表示具有相反意义的量

【例1】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北

京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（　　）

A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时

【例2】下列实数中是无理数的是（    ）

A．3.14 B． C． D．

1．（2021·山东济宁市）若盈余2万元记作万元，则万元表示（    ）

A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损万元 D．不盈余也不亏损

2．（2021·广西来宾市）下列各数是有理数的是（    ）

A． B． C． D．

【考点2】相反数、倒数

1．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.

（1）若a,b互为相反数,则a+b=0;

（2）0的相反数是0;

（3）在数轴上,互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.

2．倒数：乘积为1的两个数互为倒数.

（1）ab=1⇔a,b互为倒数;

（2）0没有倒数;

（3）倒数等于它本身的数是1和-1.

【例3】-2021的相反数是（    ）

A．2021 B．-2021 C． D．

【例4】﹣的相反数是    ，倒数是        ．

【考点3】数轴

【例5】（2021·青海）若，则实数在数轴上对应的点的位置是（    ）．

A． B．

C． D．

【例6】（2021·湖南）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（    ）

A． B． C． D．

1．（2021·北京）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有（　　）

①a+b+c＞0  ②a•b•c＞0  ③a+b﹣c＜0  ④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、b、﹣a、﹣b、0按照从小到大的顺序排列，正

确的是（　　）

A．﹣a＜a＜0＜﹣b＜b B．a＜﹣a＜0＜﹣b＜b 

C．﹣b＜a＜0＜﹣a＜b D．a＜0＜﹣a＜b＜﹣b

【考点4】绝对值

1．绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

2．绝对值具有非负性：

【例7】已知（x﹣3）2+|2x﹣3y﹣3|＝0，则y＝　   　．

【例8】的绝对值是（    ）

A． B． C． D．

1．（2021·四川雅安市）-2021的绝对值等于（    ）

A．2021 B．-2021 C． D．

2．已知|x﹣y+3|与（x﹣2）2互为相反数，则=　   　．

【考点5】科学计数法

科学记数法：把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数法叫做科学记数法.

【例9】（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

1．（2021·内蒙古）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为，则n等于（   ）

A．6 B．5 C．4 D．3

2．（2021·湖南张家界市）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·贵州铜仁市）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（      ）．

A． B． C． D．

科学记数法的表示方法：一般形式:a×10n.

1．a值的确定:1≤|a|<10.

2．n值的确定:

① 当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;

② 当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).

注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.

【考点6】实数的大小比较

【例10】（2021·湖南怀化）比较大小： __________（填写“＞”或“＜”或“＝”）．

【例11】若0＜m＜1，m、m2、的大小关系是（　　）

A．m＜m2 B．m2＜m C．m＜m2 D．m2＜m

1．（2021·广西柳州市）在实数3，，0，中，最大的数为（    ）

A．3 B． C．0 D．

2．（2021·湖北襄阳市）下列各数中最大的是（    ）

A． B． C．0 D．1

比较实数大小的5种方法

1．数轴比较法:将两个数表示在同一条数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.

2．类别比较法:正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.

3．差值比较法:若a,b是任意两个实数,则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.

4．倒数比较法:若>，ab>0，则a<b.

5．平方比较法:由a>b>0,可得,故可以把比较与的大小问题转化成比较a和b的大小问题.

【考点7】二次根式的估算

【例12】（2021·四川达州市）实数在数轴上的对应点可能是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

1．（2021·湖北随州市·中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．

2．（2020•黔东南州）实数2介于（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

求二次根式离哪个整数较近时,先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间,再求这两个整数的平均数,用平方法比较这个二次根式和平均数的大小.若二次根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若二次根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近.

【考点8】平方根与算术平方根

1．平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作；如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作.

2．平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.

【例13】（2020•湖州）数4的算术平方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．

1．（2020•泰州）9的平方根等于　   　．

2．（2021·黑龙江大庆市）________

【考点9】立方根

1．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作.

2．立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.

【例14】（2020•宁波）实数8的立方根是　    　．

【考点10】二次根式

1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.

2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

【例15】（2020苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　   　．

【例16】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【例17】（2020济宁）下列各式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

1．（2021·湖南）将化为最简二次根式，其结果是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（    ）

A． B． C．10 D．4

3．（2020苏州）使在实数范围内有意义的x的取值范围是　   　．

【考点11】实数与二次根式运算

1．实数运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方.

2．二次根式的运算法则：

（1）             （2）

（3）

（4）

二次根式运算的注意事项

1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).

2．运算结果要化成最简形式.

3．在二次根式的运算中,要注意与次的区别.

① 取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;

② 化简结果不同:=|a|,=a.

【例18】（2021·广西来宾市）计算：．

【例19】下列等式成立的是（　　）

A．        B． 

C．     D．

1．计算的结果正确的是（　　）

A．1 B． C．5 D．9

2．（2021·广西贺州市）计算：．

3．（2021·江苏盐城市）计算：．

4．（2021·山东济宁市）计算：．

5．（2021·湖南娄底市）计算：．