初中数学中考复习 专题01 直角三角形的存在性问题(解析版)

这是一份初中数学中考复习 专题01 直角三角形的存在性问题(解析版)，共52页。
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专题一 直角三角形的存在性问题
【考题研究】
这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．
怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．
【解题类型及其思路】
当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法① ，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角
【典例指引】
类型一 【确定三角形的形状】
典例指引1．
（2019·辽宁中考模拟）已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为；
（2）令y=0，则，∴，，∴C（3，0），∵=，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．
综上所述，S=．

【举一反三】
（2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；
（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.
类型二 【确定点的坐标】
典例指引2．
19．（2019·江西中考模拟）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是　 　，衍生直线的解析式是　 　；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3；（2）y=2x2﹣4x+1；（3）存在，P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）．
【解析】
分析：（1）衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点，则可根据顶点设顶点式方程，由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得，MN解析式易得．
（2）已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与（1）相反，根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点，则可推得原抛物线顶点式，再代入经过点，即得解析式．（3）由N（0，﹣3），衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3，再向上平移1个单位即得直线y=﹣2，所以P点可设（x，﹣2）．在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理，对于坐标系中的两点，分别过点作平行于x轴、y轴的直线，则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形，且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值．进而我们可以先算出三点所成三条线的平方，然后组合构成满足勾股定理的三种情况，易得P点坐标．
本题解析：
（1）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3，
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点（1，﹣4），
∴﹣4=a•1﹣3，
解得 a=﹣1，
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3．
设衍生直线为y=kx+b，
∵y=kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴，
∴，
∴衍生直线为y=﹣x﹣3．
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立，得，
解得 或，
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y=a（x﹣1）2﹣1，
∵y=a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1=a（0﹣1）2﹣1，
解得 a=2，
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y=﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（1，﹣4），
∴OM2=（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=1+16=17，
OP2=（|xP﹣xO|）2+（yO﹣yP）2=x2+4，
MP2=（|xP﹣xM|）2+（yP﹣yM）2=（x﹣1）2+4=x2﹣2x+5．
①当OM2=OP2+MP2时，有17=x2+4+x2﹣2x+5，
解得x=或x=，即P（，﹣2）或P（，﹣2）．
②当OP2=OM2+MP2时，有x2+4=17+x2﹣2x+5，
解得 x=9，即P（9，﹣2）．
③当MP2=OP2+OM2时，有x2﹣2x+5=x2+4+17，
解得 x=﹣8，即P（﹣8，﹣2）．
综上所述，当P为（，﹣2）或（，﹣2）或（9，﹣2）或（﹣8，﹣2）时，△POM为直角三角形．

【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质，勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识，特别注意的是：利用其表示坐标系中两点距离，是近几年中考的热点,需学生熟练运用.
【举一反三】
如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；
（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+5．（2）；（3）P坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣3）或（﹣2，6）或（﹣2，﹣1）．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解①当由 列出方程即可解决．②当时，由 列出方程即可解决．③当 时，由列出方程即可；
试题解析：(1)把A(−5,0),B(1,0)两点坐标代入
得到
解得
∴抛物线的函数表达式为
(2)如图1中，

∵抛物线的对称轴x=−2,
∴
∴矩形EFDH的周长
∵−2