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初中数学中考复习 专题01 实数-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题01 实数-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（解析版），共47页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题01 实数
一、单选题
1．（2022·湖北鄂州）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求解即可．
【详解】
解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·湖南永州）如图，数轴上点对应的实数是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上点E所在位置，判断出点E所对应的值即可；
【详解】
解：根据数轴上点E所在位置可知，点E在-1到-3之间，符合题意的只有-2；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查数轴上的点的位置问题，根据数轴上点所在位置对点的数值进行判断是解题的关键．
3．（2022·辽宁营口）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
4．（2022·黑龙江绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．
【详解】
解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
5．（2021·四川凉山）的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，再求平方根即可．
【详解】
解：∵，
9的平方根是±3，
∴的平方根是±3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2021·广西河池）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．
【详解】
解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
7．（2021·贵州毕节）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接计算后判断即可.
【详解】
;;;.故选D
【点睛】
本题考查了零指数幂、算数平方根，负整数指数幂和幂的运算，关键是掌握概念和运算规则.
8．（2020·贵州黔南）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴在3和4之间，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
9．（2020·山东东营）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解．
【详解】
４的算术平方根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的求解方法，考生需要将其与平方根进行对比掌握．
10．（2022·重庆）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，利用，从而判定即可．
【详解】
，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
11．（2020·湖北荆州）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意填上运算符计算即可．
【详解】
A.,结果为有理数;
B. ,结果为有理数;
C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;
D.,结果为有理数;
故选C．
【点睛】
本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则．
12．（2022·广东广州）实数，在数轴上的位置如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置，可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】
解：根据数轴上点的位置，可得，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置判断实数的大小，数形结合是解题的关键．
13．（2022·广东广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （），故该选项不正确，不符合题意；
C. ，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
14．（2021·天津）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【详解】
解：∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
则的值应在4和5之间．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
15．（2021·四川绵阳）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，，，，，即可得出结果．
【详解】
，，
，
又，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
16．（2021·山东日照）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；
②天气预报说明天的降水概率是，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题；
④若一个多边形的各内角都等于，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；
真命题有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
17．（2020·广西贵港）下列命题中真命题是（ ）
A．的算术平方根是2 B．数据2，0，3，2，3的方差是
C．正六边形的内角和为360° D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】
A.根据算术平方根解题；
B.根据方差、平均数的定义解题；
C.根据多边形的内角和为解题；
D.根据菱形、梯形的性质解题．
【详解】
A. ，2的算术平方根是，故A错误；
B. 数据2，0，3，2，3的平均数是，方差是
，故B正确；
C. 正六边形的内角和为，故C错误；
D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（2020·内蒙古赤峰）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
19．（2020·山东烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
【答案】B
【解析】
【分析】
根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．
【详解】
解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．
20．（2020·湖北荆州）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】
本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
21．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】
解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
22．（2021·广东）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】
∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
23．（2021·湖北鄂州）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
24．（2020·四川巴中）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
25．（2021·湖北荆州）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
26．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】
解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
27．（2020·湖南长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】A
【解析】
【分析】
圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．
【详解】
解：①圆周率是一个有理数，错误；
②是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．
二、填空题
28．（2022·湖南）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】
解：，是无理数，
（恰好是无理数）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
29．（2022·山东威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据程序分析即可求解．
【详解】
解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
【点睛】
本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
30．（2021·广西百色）实数的整数部分是______．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据，即可得出的整数部分．
【详解】
解：，
即，
∴的整数部分为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，解题的关键是确定无理数位于哪两个整数之间．
31．（2021·内蒙古鄂尔多斯）计算：___________．
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解．
【详解】
解：原式=
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算等知识点，熟知上述的各种运算法则是解题的基础．
32．（2020·青海）(-3+8)的相反数是________；的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】
第1空：先计算-3+8的值，根据相反数的定义写出其相反数；
第2空：先计算的值，再写出其平方根．
【详解】
第1空：∵，则其相反数为：
第2空：∵，则其平方根为：
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了相反数，平方根，熟知相反数，平方根的知识是解题的关键．
33．（2020·四川遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开不尽的方根，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数即可．
【详解】
解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
34．（2022·四川广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【答案】11或13##13或11
【解析】
【分析】
根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】
解：∵（a﹣3）2+=0，
∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
35．（2022·四川内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
36．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【解析】
【分析】
根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】
解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
37．（2021·安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先估算出，再估算出即可完成求解．
【详解】
解：∵；
∴；
因为1.236介于整数1和2之间，
所以;
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．
38．（2021·内蒙古呼和浩特）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．
【答案】0，1，0，1
【解析】
【分析】
根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1即可．
【详解】
解：∵，，，依次为3，1，2，1，
∴x0=x4=1，x5=x1=3，
∴x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，
∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；
∴其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1．
故答案为：0， 1， 0， 1．
【点睛】
本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．
39．（2020·上海）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据f(x)=，将代入即可求解．
【详解】
解：由题意得：f(x)=，
∴将代替表达式中的，
∴f(3)==1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
40．（2020·浙江衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【解析】
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
41．（2020·青海）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b=，如3※2=，那么12※4=______
【答案】
【解析】
【分析】
按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】
解：12※4＝
故答案为：
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
42．（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】
本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
43．（2021·内蒙古鄂尔多斯）下列说法不正确的是___________ （只填序号）
①的整数部分为2，小数部分为．
②外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为．
④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
得到的整数部分即可判断①；先判断出正多边形为正六边形，再求出其内切圆半径即可判断②；根据直线的平移规律可判断③；根据新定义运算列出方程即可判断④．
【详解】
解：①∵，
∴
∴
∴
∴的整数部分为2，小数部分为，故①错误；
②外角为的正多边形的边数为：
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形为ABCDEF，如图，O为正六边形的中心，连接OA，过O作OG⊥AB于点G，
∵AB=2，∠BAF=120°
∴AG=1，∠GAO=60°
∴,即外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为，故②正确；
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为，故③错误；
④∵新定义运算：，
∴方程，即，
∴
∴方程有两个相等的实数根，故④错误，
∴错误的结论是①③④
帮答案为①③④．
【点睛】
此题主要考查了无理数的估算，正多边形和圆，直线的平移以及根的判别式，熟练掌握以上相关知识是解答此题的关键．
44．（2021·湖北随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.
【详解】
解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
【点睛】
本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．
45．（2020·湖南邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
【答案】
【解析】
【分析】
先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
三、解答题
46．（2022·北京）计算：
【答案】4
【解析】
【分析】
根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
47．（2022·江苏宿迁）计算：4°．
【答案】2
【解析】
【分析】
先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
48．（2021·湖南张家界）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
49．（2020·山东济南）计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】
分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
【点睛】
本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
50．（2020·湖南邵阳）计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝2
【点睛】
此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
51．（2022·吉林长春）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解．
【详解】
解：原式＝
当时，原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
52．（2022·内蒙古通辽）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】
解：原式＝
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
53．（2022·广西梧州）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据算术平方根的定义求出，然后按照有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可．
【详解】
解：（1）解：原式=
=
=
=；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
54．（2021·新疆）计算：．
【答案】0．
【解析】
【分析】
第一项根据零指数幂计算，第二项根据绝对值的意义计算，第三项进行立方根运算，第四项进行有理数的乘方运算，最后进行加减运算即可．
【详解】
解：原式=1+3-3+(-1)
=0．
【点睛】
本题考查了实数的运算，包括零指数幂、绝对值的意义，求一个数的立方根，有理数的乘方运算．正确化简各数是解题的关键．
55．（2021·广西玉林）计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】
先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，是解题的关键．
56．（2020·广西）计算：（π+）0+（﹣2）2+|﹣|﹣sin30°．
【答案】5
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】
原式＝1+4+﹣＝5．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
57．（2022·江苏无锡）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【解析】
【分析】
（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
(1)
解：原式=
=
=1；
(2)
解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【点睛】
本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
58．（2022·四川宜宾）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．
59．（2022·浙江温州）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）12；（2），见解析
【解析】
【分析】
（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法；
（2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上．
【详解】
（1）原式
．
（2），
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以2，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算和解不等式，解决问题的关键是熟练掌握实数的运算顺序和各运算法则，解不等式的一般方法，在数轴上表示不等式的解集．
60．（2021·贵州黔西）
(1)计算：；
(2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据乘方、二次根式、零指数幂的运算法则以及绝对值的意义进行计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后再得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
(1)
解：原式
；
(2)
，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式、乘方的运算法则，解不等式的一般步骤是解题的关键．
61．（2021·四川巴中）（1）计算：2sin60°+|2|﹣（）﹣1；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
（3）先化简，再求值：（1），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）（2）−3＜x≤−1；数轴见解析（3）；当a＝1时，原式＝5
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法可以解答本题；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出来即可；
（3）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从−4，−3，0，1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）2sin60°+|2|﹣（）-1
＝
；
（2），
解不等式①，得
x＞−3，
解不等式②，得
x≤−1，
∴原不等式组的解集是−3＜x≤−1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）（1）
＝
＝
＝，
∵a（a＋3）≠0，a＋4≠0，
∴a≠−4，−3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法、解一元一次不等式组、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，认真计算，注意要检查．
62．（2021·海南）（1）计算：；
（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【答案】（1）；（2）．解集在数轴上表示见解析．
【解析】
【分析】
（1）先计算有理数的乘方、化简绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再计算有理数的混合运算即可得；
（2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：（1），
，
，
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则这个不等式组的解集是．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、解一元一次不等式组，熟练掌握各运算法则和不等式组的解法是解题关键．
63．（2021·江苏盐城）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】
解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
【点睛】
本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
64．（2020·辽宁沈阳）计算：
【答案】12
【解析】
【分析】
分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】
解:原式
．
【点睛】
本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
65．（2021·湖南张家界）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】（1），；（2）减，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】
解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则
∵且，
∴，
∴，即
∴函数是减函数．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
66．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)
解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)
解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
(3)
与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【点睛】
本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
67．（2020·四川内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【解析】
【分析】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
【详解】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
68．（2020·重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【解析】
【分析】
（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
【详解】
解：（1）∵；，
∴49不是“差一数”，
∵；，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】
此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
专题01 实数
一、单选题
1．（2022·湖北鄂州）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，进行求解即可．
【详解】
解：实数9的相反数是-9，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相反数的定义，熟知相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·湖南永州）如图，数轴上点对应的实数是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上点E所在位置，判断出点E所对应的值即可；
【详解】
解：根据数轴上点E所在位置可知，点E在-1到-3之间，符合题意的只有-2；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查数轴上的点的位置问题，根据数轴上点所在位置对点的数值进行判断是解题的关键．
3．（2022·辽宁营口）在，0，，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：∵2＞＞0＞-1，
∴在，0，-1，2这四个实数中，最大的数是2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
4．（2022·黑龙江绥化）下列计算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．
【详解】
解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
5．（2021·四川凉山）的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，再求平方根即可．
【详解】
解：∵，
9的平方根是±3，
∴的平方根是±3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2021·广西河池）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2 B．0 C． D．3.14
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．
【详解】
解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
7．（2021·贵州毕节）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接计算后判断即可.
【详解】
;;;.故选D
【点睛】
本题考查了零指数幂、算数平方根，负整数指数幂和幂的运算，关键是掌握概念和运算规则.
8．（2020·贵州黔南）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先估算出的范围，即可得出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴在3和4之间，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
9．（2020·山东东营）利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为，则计算器面板显示的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的求解方法进行计算即可得解．
【详解】
４的算术平方根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根的求解方法，考生需要将其与平方根进行对比掌握．
10．（2022·重庆）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，利用，从而判定即可．
【详解】
，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
11．（2020·湖北荆州）若x为实数，在的“”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意填上运算符计算即可．
【详解】
A.,结果为有理数;
B. ,结果为有理数;
C.无论填上任何运算符结果都不为有理数;
D.,结果为有理数;
故选C．
【点睛】
本题考查实数的运算,关键在于牢记运算法则．
12．（2022·广东广州）实数，在数轴上的位置如图所示，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置，可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】
解：根据数轴上点的位置，可得，
，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置判断实数的大小，数形结合是解题的关键．
13．（2022·广东广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （），故该选项不正确，不符合题意；
C. ，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查了求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
14．（2021·天津）估计的值应在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用估算无理数的方法分析得出答案．
【详解】
解：∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
则的值应在4和5之间．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
15．（2021·四川绵阳）下列数中，在与之间的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，，，，，即可得出结果．
【详解】
，，
，
又，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，立方根，解决本题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
16．（2021·山东日照）下列命题：①的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的降水概率是，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于，则它是正五边形，其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：①的算术平方根是，故原命题错误，是假命题；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；
②天气预报说明天的降水概率是，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，是假命题；
④若一个多边形的各内角都等于，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；
真命题有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大．
17．（2020·广西贵港）下列命题中真命题是（ ）
A．的算术平方根是2 B．数据2，0，3，2，3的方差是
C．正六边形的内角和为360° D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】
A.根据算术平方根解题；
B.根据方差、平均数的定义解题；
C.根据多边形的内角和为解题；
D.根据菱形、梯形的性质解题．
【详解】
A. ，2的算术平方根是，故A错误；
B. 数据2，0，3，2，3的平均数是，方差是
，故B正确；
C. 正六边形的内角和为，故C错误；
D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（2020·内蒙古赤峰）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<9，
∵2<<3，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
19．（2020·山东烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）
A．按键即可进入统计计算状态
B．计算的值，按键顺序为：
C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果
D．计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333
【答案】B
【解析】
【分析】
根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．
【详解】
解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；
B、计算的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；
C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；
D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式0．333333333是正确的，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键．
20．（2020·湖北荆州）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】
将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案.
【详解】
解：根据新运算法则可得：，
则即为，
整理得：，
则，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】
本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
21．（2022·重庆）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
给添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．
【详解】
解：∵
∴①说法正确
∵
又∵无论如何添加括号，无法使得的符号为负号
∴②说法正确
∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是、、、；
当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是、、；
当括号中有四个字母，共有1种情况，
∴共有8种情况
∴③说法正确
∴正确的个数为3
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．
22．（2021·广东）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】
∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
23．（2021·湖北鄂州）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．
24．（2020·四川巴中）定义运算：若am＝b，则logab＝m（a＞0），例如23＝8，则log28＝3．运用以上定义，计算：log5125﹣log381＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．1 D．44
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据乘方确定53=125，34=81，根据新定义求出log5125=3，log381=4，再计算出所求式子的值即可．
【详解】
解：∵53=125，34=81，
∴log5125=3，log381=4，
∴log5125﹣log381，
＝3﹣4，
＝﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，掌握新定义对数函数运算，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质，解题关键理解新定义就是乘方的逆运算．
25．（2021·湖北荆州）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
26．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】
解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=DE，
圆柱体内液体的体积为：
圆锥的体积为，
设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，
∴，
∴，
解得：x=3，
即此时“沙漏”中液体的高度3cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题．
27．（2020·湖南长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
【答案】A
【解析】
【分析】
圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．
【详解】
解：①圆周率是一个有理数，错误；
②是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．
二、填空题
28．（2022·湖南）从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是__．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
先确定无理数的个数，再除以总个数．
【详解】
解：，是无理数，
（恰好是无理数）．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．
29．（2022·山东威海）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据程序分析即可求解．
【详解】
解：∵输出y的值是2，
∴上一步计算为或
解得（经检验，是原方程的解），或
当符合程序判断条件，不符合程序判断条件
故答案为：1
【点睛】
本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键．
30．（2021·广西百色）实数的整数部分是______．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据，即可得出的整数部分．
【详解】
解：，
即，
∴的整数部分为10，
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，解题的关键是确定无理数位于哪两个整数之间．
31．（2021·内蒙古鄂尔多斯）计算：___________．
【答案】-4
【解析】
【分析】
根据立方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则即可求解．
【详解】
解：原式=
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了立方根、零指数幂、负整数指数幂、实数的混合运算等知识点，熟知上述的各种运算法则是解题的基础．
32．（2020·青海）(-3+8)的相反数是________；的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】
第1空：先计算-3+8的值，根据相反数的定义写出其相反数；
第2空：先计算的值，再写出其平方根．
【详解】
第1空：∵，则其相反数为：
第2空：∵，则其平方根为：
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了相反数，平方根，熟知相反数，平方根的知识是解题的关键．
33．（2020·四川遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开不尽的方根，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数即可．
【详解】
解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
34．（2022·四川广安）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【答案】11或13##13或11
【解析】
【分析】
根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】
解：∵（a﹣3）2+=0，
∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
35．（2022·四川内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】
解：由题意得：
＝1，
等式两边同时乘以得，
，
解得：，
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
36．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【解析】
【分析】
根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】
解：∵，是大于1的整数，
∴．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．
故答案为：3；75．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
37．（2021·安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先估算出，再估算出即可完成求解．
【详解】
解：∵；
∴；
因为1.236介于整数1和2之间，
所以;
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．
38．（2021·内蒙古呼和浩特）若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．
【答案】0，1，0，1
【解析】
【分析】
根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1即可．
【详解】
解：∵，，，依次为3，1，2，1，
∴x0=x4=1，x5=x1=3，
∴x0，，，，， x5依次为1，3，1，2，1，3，
∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；
∴其“伴生数列”B是y1， y2， y3， y4；依次为0， 1， 0， 1．
故答案为：0， 1， 0， 1．
【点睛】
本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．
39．（2020·上海）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据f(x)=，将代入即可求解．
【详解】
解：由题意得：f(x)=，
∴将代替表达式中的，
∴f(3)==1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
40．（2020·浙江衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【解析】
【分析】
根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】
本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
41．（2020·青海）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b=，如3※2=，那么12※4=______
【答案】
【解析】
【分析】
按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】
解：12※4＝
故答案为：
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
42．（2022·四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【解析】
【分析】
利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】
解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】
本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
43．（2021·内蒙古鄂尔多斯）下列说法不正确的是___________ （只填序号）
①的整数部分为2，小数部分为．
②外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为．
④新定义运算：，则方程有两个不相等的实数根．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
得到的整数部分即可判断①；先判断出正多边形为正六边形，再求出其内切圆半径即可判断②；根据直线的平移规律可判断③；根据新定义运算列出方程即可判断④．
【详解】
解：①∵，
∴
∴
∴
∴的整数部分为2，小数部分为，故①错误；
②外角为的正多边形的边数为：
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形为ABCDEF，如图，O为正六边形的中心，连接OA，过O作OG⊥AB于点G，
∵AB=2，∠BAF=120°
∴AG=1，∠GAO=60°
∴,即外角为且边长为2的正多边形的内切圆的半径为，故②正确；
③把直线向左平移1个单位后得到的直线解析式为，故③错误；
④∵新定义运算：，
∴方程，即，
∴
∴方程有两个相等的实数根，故④错误，
∴错误的结论是①③④
帮答案为①③④．
【点睛】
此题主要考查了无理数的估算，正多边形和圆，直线的平移以及根的判别式，熟练掌握以上相关知识是解答此题的关键．
44．（2021·湖北随州）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人，他给出的两个分数形式：（约率）和（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数……现已知，则使用两次“调日法”可得到的近似分数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据“调日法”的定义，第一次结果为：，近似值大于 ，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.
【详解】
解：∵
∴第一次“调日法”，结果为：
∵
∴
∴第二次“调日法”，结果为：
故答案为：
【点睛】
本题考查无理数的估算，根据定义，严格按照例题步骤解题是重点．
45．（2020·湖南邵阳）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
2
1
6
3
【答案】
【解析】
【分析】
先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【详解】
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
三、解答题
46．（2022·北京）计算：
【答案】4
【解析】
【分析】
根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
47．（2022·江苏宿迁）计算：4°．
【答案】2
【解析】
【分析】
先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
48．（2021·湖南张家界）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
49．（2020·山东济南）计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】
分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
【点睛】
本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．
50．（2020·湖南邵阳）计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝2
【点睛】
此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．
51．（2022·吉林长春）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解．
【详解】
解：原式＝
当时，原式
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
52．（2022·内蒙古通辽）计算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】
解：原式＝
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
53．（2022·广西梧州）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据算术平方根的定义求出，然后按照有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先去括号和计算乘法运算，然后合并同类项即可．
【详解】
解：（1）解：原式=
=
=
=；
（2）原式=
=．
【点睛】
本题考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
54．（2021·新疆）计算：．
【答案】0．
【解析】
【分析】
第一项根据零指数幂计算，第二项根据绝对值的意义计算，第三项进行立方根运算，第四项进行有理数的乘方运算，最后进行加减运算即可．
【详解】
解：原式=1+3-3+(-1)
=0．
【点睛】
本题考查了实数的运算，包括零指数幂、绝对值的意义，求一个数的立方根，有理数的乘方运算．正确化简各数是解题的关键．
55．（2021·广西玉林）计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】
先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，再算加减法，即可求解．
【详解】
解：原式=
=
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，是解题的关键．
56．（2020·广西）计算：（π+）0+（﹣2）2+|﹣|﹣sin30°．
【答案】5
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】
原式＝1+4+﹣＝5．
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
57．（2022·江苏无锡）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)2a+3b
【解析】
【分析】
（1）先化简绝对值和计算乘方，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后算加减即可求解；
（2）先运用单项式乘以多项式法则和平方差公式计算，再合并同类项即可．
(1)
解：原式=
=
=1；
(2)
解：原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b．
【点睛】
本题考查实数混合运算，整式混合运算，熟练掌握实数运算法则和单项式乘以多项式法则，熟记特殊角的三角函数值、平方差公式是解题的关键．
58．（2022·四川宜宾）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．
(1)
解：原式
；
(2)
解：原式
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．
59．（2022·浙江温州）（1）计算：．
（2）解不等式，并把解集表示在数轴上．
【答案】（1）12；（2），见解析
【解析】
【分析】
（1）先计算算术平方根，乘方，绝对值，再作加减法；
（2）先移项合并同类项系数化成1，再把解集表示在数轴上．
【详解】
（1）原式
．
（2），
移项，得．
合并同类项，得．
两边都除以2，得．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算和解不等式，解决问题的关键是熟练掌握实数的运算顺序和各运算法则，解不等式的一般方法，在数轴上表示不等式的解集．
60．（2021·贵州黔西）
(1)计算：；
(2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据乘方、二次根式、零指数幂的运算法则以及绝对值的意义进行计算即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后再得出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可．
(1)
解：原式
；
(2)
，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式、乘方的运算法则，解不等式的一般步骤是解题的关键．
61．（2021·四川巴中）（1）计算：2sin60°+|2|﹣（）﹣1；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
（3）先化简，再求值：（1），请从﹣4，﹣3，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】（1）（2）−3＜x≤−1；数轴见解析（3）；当a＝1时，原式＝5
【解析】
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法可以解答本题；
（2）先求出每个不等式的解集，然后取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出来即可；
（3）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从−4，−3，0，1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）2sin60°+|2|﹣（）-1
＝
；
（2），
解不等式①，得
x＞−3，
解不等式②，得
x≤−1，
∴原不等式组的解集是−3＜x≤−1，
解集在数轴上表示如下：
；
（3）（1）
＝
＝
＝，
∵a（a＋3）≠0，a＋4≠0，
∴a≠−4，−3，0，
∴a＝1，
当a＝1时，原式＝＝5．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、负整数指数幂、二次根式的除法、解一元一次不等式组、分式的化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法，认真计算，注意要检查．
62．（2021·海南）（1）计算：；
（2）解不等式组并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【答案】（1）；（2）．解集在数轴上表示见解析．
【解析】
【分析】
（1）先计算有理数的乘方、化简绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再计算有理数的混合运算即可得；
（2）先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：（1），
，
，
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则这个不等式组的解集是．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂、解一元一次不等式组，熟练掌握各运算法则和不等式组的解法是解题关键．
63．（2021·江苏盐城）如图，点是数轴上表示实数的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的的点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为，再利用圆规画圆弧即可得到点．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】
解：（1）如图所示，点即为所求．
（2）如图所示，点在点的右侧，所以
【点睛】
本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
64．（2020·辽宁沈阳）计算：
【答案】12
【解析】
【分析】
分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】
解:原式
．
【点睛】
本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
65．（2021·湖南张家界）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【答案】（1），；（2）减，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】
解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则
∵且，
∴，
∴，即
∴函数是减函数．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
66．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
【答案】(1)③；
(2)相等，证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可．
(1)
解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝；
(2)
解：相等，理由如下：
100a(a＋1)＋25=
(3)
与100a的差为2525，
整理得： 即
解得：
1≤a≤9，
【点睛】
本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．
67．（2020·四川内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【解析】
【分析】
（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
【详解】
（1）6＝1×6＝2×3，
∵6−1＞3−2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，
∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
68．（2020·重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．
例如：，，所以14是“差一数”；
，但，所以19不是“差一数”．
（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．
【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389
【解析】
【分析】
（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；
（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9，被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可依次求得大于300且小于400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1能被15整除，据此可先求出大于300且小于400的能被15整除的数，进一步即得结果．
【详解】
解：（1）∵；，
∴49不是“差一数”，
∵；，
∴74是“差一数”；
（2）解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．
【点睛】
此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加1能被15整除，明确方法是关键．
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