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初中数学中考复习 专题01 数与式问题（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题01 数与式问题（解析版），共31页。
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题01数与式问题
【考点1】实数与数轴问题
【例1】（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020·福建中考真题）如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】
解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3
故选：C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
【变式1-2】（2019年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．
【解析】∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，
∴点A表示的数为a﹣1，
∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式1-3】（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【考点2】整式的求值问题
【例2】（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【详解】
将代入得：原式
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
【变式2-1】（2020·四川甘孜·中考真题）若，则代数式的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】
把化为的形式，再整体代入求值即可.
【详解】
解：∵，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．
【变式2-2】（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【答案】-26
【解析】
【分析】
首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【详解】
解：当x=2时，，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，
执行“是”，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
【考点3】分式的求值问题
【例3】（2020·四川南充·中考真题）若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据，代入化简即可得到结果．
【详解】
解：
故答案为：-2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2019·四川内江·中考真题）若，则分式的值为_____．
【答案】﹣4.
【解析】
【分析】
将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到m+n=2mn，代入所求式子中计算，即可求出值．
【详解】
，可得，
＝﹣4；
故答案为﹣4.
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
【变式3-2】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）先化简，再求值：，其中m满足：.
【答案】
，1．
【解析】
【分析】
将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
【详解】
解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
【点睛】
本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．
【考点4】二次根式的性质与化简
【例4】（2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
【变式4-1】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<6.25，
∵2<<2.5，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
【变式4-2】（2019年内江）若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝ 1002 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
【解析】∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|a，得﹣1001+aa，
∴1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【变式4-3】（2020·甘肃金昌·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
【考点5】数字的变化规律
【例5】（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键
【变式5-1】（2020·广西中考真题）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】
∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】
此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
【变式5-2】（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【详解】
（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
【变式5-3】（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【解析】
【分析】
根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】
解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
【考点6】图形的变化规律
【例6】（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
【详解】
解：根据图中圆点排列，
当n＝1时，圆点个数5+2；
当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；
当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝
．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
【变式6-1】（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
【变式6-2】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式6-3】（2020·山东烟台·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】
解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
1．（2020·山东临沂·中考真题）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答.
【详解】
解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，
则点B对应的数为：-2=，
故选A.
【点睛】
本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【详解】
设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
【点睛】
本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】
解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
4．（2020·北京中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】
由数轴的定义得：
又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
5．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【解析】
【分析】
由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【详解】
解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】
本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
6．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【详解】
解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为：
故选A．
【点睛】
本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
7．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
8．（2020·湖北黄冈·中考真题）计算：的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【详解】
解：
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【解析】
【分析】
先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点睛】
本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
10．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
将原式变形为，再将代入求值即可.
【详解】
解：
=
将代入，
原式=
=
=1-2
=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
11．（2020·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
【详解】
解：∵﹣3＜﹣1，
∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】
本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
12．（2020·山西中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有_______个三角形（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．
【详解】
解：由图形可知：
第1个图案有3+1=4个三角形，
第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，
第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，
...
第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．
故答案为（3n+1）．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．
13．（2020·海南中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有_____________个菱形， 第个图中有____________个菱形(用含的代数式表示)．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，据此规律求解即可.
【详解】
解：∵第1个图形有1个菱形，
第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，
第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，
第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，
∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，
第n个图形有2×n×(n-1)+1=个菱形.
故答案为：41，.
【点睛】
本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
14．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（2020·山东安丘·初三三模）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
16．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．
【答案】440
【解析】
【分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【点睛】
本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17．（2020·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=
=
当时，
原式===．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2020·山东菏泽·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
19．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【解析】
【分析】
（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，
∴，
当时，．
故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
20．（2019·江苏徐州·中考真题）（阅读理解）
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：
（尝试操作）
(1)如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．
（归纳发现）
(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
所有不同图案的个数
【答案】(1)见解析；(2)5，8，13.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件作图可知时，所有图案个数5个；
(2)推出长度为50cm时的所有图案，继而根据已知猜想60cm时所有图案的个数即可.
【详解】
(1)如图：
根据作图可知时，所有图案个数5个；
(2)时，如图所示，所有图案个数8个；
同理，时，所有图案个数13个，
故答案为5，8，13.
【点睛】
本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．
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专题01数与式问题
【考点1】实数与数轴问题
【例1】（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【变式1-1】（2020·福建中考真题）如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴确定和的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．
【详解】
解：根据数轴可得＜＜1，＜＜，则1＜＜3
故选：C
【点睛】
本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确和的范围，然后再确定的范围即可．
【变式1-2】（2019年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．
【解析】∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，
∴点A表示的数为a﹣1，
∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式1-3】（2020·贵州铜仁·中考真题）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【详解】
根据数轴可得：，，且，
则，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
【考点2】整式的求值问题
【例2】（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【详解】
将代入得：原式
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
【变式2-1】（2020·四川甘孜·中考真题）若，则代数式的值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】
把化为的形式，再整体代入求值即可.
【详解】
解：∵，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．
【变式2-2】（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【答案】-26
【解析】
【分析】
首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【详解】
解：当x=2时，，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，
执行“是”，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
【考点3】分式的求值问题
【例3】（2020·四川南充·中考真题）若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据，代入化简即可得到结果．
【详解】
解：
故答案为：-2
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2019·四川内江·中考真题）若，则分式的值为_____．
【答案】﹣4.
【解析】
【分析】
将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到m+n=2mn，代入所求式子中计算，即可求出值．
【详解】
，可得，
＝﹣4；
故答案为﹣4.
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
【变式3-2】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）先化简，再求值：，其中m满足：.
【答案】
，1．
【解析】
【分析】
将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m所满足的条件得出，将其代入化简后的公式，即可求得答案．
【详解】
解：原式为
=
=
=
=，
又∵m满足，即，将代入上式化简的结果，
∴原式=．
【点睛】
本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．
【考点4】二次根式的性质与化简
【例4】（2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A.
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
【变式4-1】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】
=
=2+，
∵4<6<6.25，
∵2<<2.5，
∴4<2+<5，
故选：A.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
【变式4-2】（2019年内江）若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝ 1002 ．
【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
【解析】∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|a，得﹣1001+aa，
∴1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【变式4-3】（2020·甘肃金昌·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【详解】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
【考点5】数字的变化规律
【例5】（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【解析】
【分析】
根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】
解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】
本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键
【变式5-1】（2020·广西中考真题）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有排，则该礼堂的座位总数是_____．
【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】
∵前区共有排， 其中第排共有个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】
此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
【变式5-2】（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【详解】
（1），
②，
③，
④；
故答案为．
（2）第n个式子为：．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
【变式5-3】（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【解析】
【分析】
根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】
解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
【考点6】图形的变化规律
【例6】（2020·山东日照·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（ ）
A．59 B．65 C．70 D．71
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
【详解】
解：根据图中圆点排列，
当n＝1时，圆点个数5+2；
当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；
当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11
＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝
．
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
【变式6-1】（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】
解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n=个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100==5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
【变式6-2】（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式6-3】（2020·山东烟台·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】
解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
1．（2020·山东临沂·中考真题）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答.
【详解】
解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，
则点B对应的数为：-2=，
故选A.
【点睛】
本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
2．（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n的值．
【详解】
设最后三位数为x－4,x－2,x．
由题意得: x－4+x－2+x=3000,
解得x=1002．
n=1002÷2=501．
故选C．
【点睛】
本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【详解】
解：由图知：1＜a＜2，
∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
4．（2020·北京中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】
由数轴的定义得：
又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
5．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【解析】
【分析】
由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【详解】
解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】
本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
6．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【详解】
解： ，，，，，，…，
可记为：
第项为：
故选A．
【点睛】
本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
7．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】
解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
8．（2020·湖北黄冈·中考真题）计算：的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【详解】
解：
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
9．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【解析】
【分析】
先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点睛】
本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
10．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
将原式变形为，再将代入求值即可.
【详解】
解：
=
将代入，
原式=
=
=1-2
=-1
故答案为：-1.
【点睛】
本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
11．（2020·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．
【答案】18
【解析】
【分析】
根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
【详解】
解：∵﹣3＜﹣1，
∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】
本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
12．（2020·山西中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形，第个图案有个三角形按此规律摆下去，第个图案有_______个三角形（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．
【详解】
解：由图形可知：
第1个图案有3+1=4个三角形，
第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，
第3个图案有3×3+ 1=10个三角形，
...
第n个图案有3×n+ 1=（3n+1）个三角形．
故答案为（3n+1）．
【点睛】
本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．
13．（2020·海南中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有_____________个菱形， 第个图中有____________个菱形(用含的代数式表示)．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，据此规律求解即可.
【详解】
解：∵第1个图形有1个菱形，
第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，
第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，
第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，
∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形，
第n个图形有2×n×(n-1)+1=个菱形.
故答案为：41，.
【点睛】
本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
14．（2020·黑龙江绥化·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_________．
【答案】且
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．（2020·山东安丘·初三三模）观察下列各式：
，
，
，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【解析】
【分析】
根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题
的关键．
16．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．
【答案】440
【解析】
【分析】
先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：
（1）正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子
（2）从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是
即第1个图需要黑色棋子的个数为
第2个图需要黑色棋子的个数为
第3个图需要黑色棋子的个数为
第4个图需要黑色棋子的个数为
归纳类推得：第n个图需要黑色棋子的个数为，其中n为正整数
则第20个图需要黑色棋子的个数为
故答案为：440．
【点睛】
本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
17．（2020·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=
=
当时，
原式===．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2020·山东菏泽·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
【详解】
解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
19．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20
【解析】
【分析】
（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．
故答案为：10；15．
（2）∵，
∴，
当时，．
故答案为：；1128．
（3）依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该班共有20名女生．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．
20．（2019·江苏徐州·中考真题）（阅读理解）
用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：
（尝试操作）
(1)如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．
（归纳发现）
(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．
图案的长度
所有不同图案的个数
【答案】(1)见解析；(2)5，8，13.
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件作图可知时，所有图案个数5个；
(2)推出长度为50cm时的所有图案，继而根据已知猜想60cm时所有图案的个数即可.
【详解】
(1)如图：
根据作图可知时，所有图案个数5个；
(2)时，如图所示，所有图案个数8个；
同理，时，所有图案个数13个，
故答案为5，8，13.
【点睛】
本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．
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