初中数学中考复习 专题01 有理数（解析版）

专题01   有理数

知识点1：有理数

1.有理数：

(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；

(2)有理数的分类:    ①   ②

2．数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴。

3．相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0  a+b=0  a、b互为相反数.

4.绝对值：

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；

5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、b互为负倒数.

7．乘方的定义：

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

知识点2：有理数运算法则

1.有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

2．有理数加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

4 有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

5.有理数乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .

6．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.

7．有理数乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。

注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n ,

当n为正偶数时: (-a)n =an   或 (a-b)n=(b-a)n .

知识点3：科学计数法以及近似数

1.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.

2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

知识点4：混合运算法则

先乘方，后乘除，最后加减.。

本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。知道乘方的定义、会用科学计数法表示数、了解有效数字。重点利用有理数的一些运算法则解决实际问题。先把中考有理数考法类型总结如下：

1.考查正负数的意义；

2.考查有理数加减的意义；

3.考查对相反数、倒数、绝对值概念的理解运用；

4.考查有理数大小比较的方法；

5.考查科学计数法、近似数等；

6.考查有理数的运算；

7.考查非负数的性质；

8.考查数学思想方法；

9.考查数学思维能力；

10.其他综合能力问题。

【例题1】（2020•连云港）3的绝对值是（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】根据绝对值的意义，可得答案．

|3|＝3

【例题2】（2020•温州）数1，0，-2/3，﹣2中最大的是（　　）

A．1 B．0 C．-2/3 D．﹣2

【答案】A

【解析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．

﹣2＜-2/3＜0＜1，

所以最大的是1．

【例题3】（2020•甘孜州）月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（　　）

A．38.4×104 B．3.84×105 C．0.384×106 D．3.84×106

【答案】B

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

38.4万＝384000＝3.84×105

                  《有理数》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．计算：（﹣3）+4的结果是（　　）

A． ﹣7　　　　 B． ﹣1 　　　　　　　C． 1 　　　　　D． 7

【答案】C． 

【解析】根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．原式=+（4﹣3）=1，

2．比﹣2021大2021的数是（　　）

A.4042    B.2021   C.0    D.-4042

【答案】C．

【解析】根据有理数的加法，可得答案．

解：（﹣2021）+2021=0，

比﹣2021大2021的数是0。

3. 2021的相反数是（　　）

A.2021     B.-2021    C.1/2021   D.-1/2021

【答案】B

【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

2021的相反数是﹣2021．

4.计算﹣32的值是（    ）

A.9    B.-9    C.6    D.-6

【答案】B．

【解析】根据有理数的乘方的定义解答．

﹣32=﹣9．

5.（2020•聊城）在实数﹣1，，0，中，最小的实数是（　　）

A．﹣1 B． C．0 D．

【答案】D

【解析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．

∵||＞|﹣1|，

∴﹣1，

∴实数﹣1，，0，中，1＜0．

故4个实数中最小的实数是：．

6．下列各数中，绝对值最大的数是（　　）

A.-3     B.-2       C.0      D.1

【答案】A． 

【解析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案．

因为 |﹣3|=3，|﹣2|=2，|1|=1，|0|=0

所以，|﹣3|＞|﹣2|＞|1|＞|0|

7．（﹣6）×（﹣1）的结果等于（　　）

A．6  B． ﹣6  C．1 D．﹣1

【答案】A

【解析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．

（﹣6）×（﹣1），

=6×1，

=6．

8．算式743×369﹣741×370之值为何？(　　)

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

【答案】A

【解析】根据乘法分配律，可简便运算，根据有理数的减法，可得答案．

原式＝743×(370﹣1)﹣741×370＝370×(743﹣741)﹣743＝370×2﹣743＝﹣3

9. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（　　）

A.0.845×104亿元   B.8.45×103亿元

C.8.45×104亿元    D.84.5×102亿元

【答案】B．

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

将8450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元．

10．已知果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成线型函数关系，今小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮秤得总重量为15公斤，付西红柿的钱250元．若他再加买0.5公斤的西红柿，需多付10元，则空竹篮的重量为多少公斤？(　　)

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

【答案】C． 

【解析】本题考查了总价÷数量＝单价的运用，总价÷单价＝数量的运用，解答时求出西红柿的单价是解答本题的关键．

由加买0.5公斤的西红柿，需多付10元就可以求出西红柿的单价，再由总价250元÷西红柿的单价就可以求出西红柿的数量，进而求出结论．

由题意，得

西红柿的单价为：10÷0.5＝20元，

西红柿的重量为：250÷20＝12.5kg，

∴空竹篮的重量为：15﹣12.5＝2.5kg．

二、填空题（每空3分，共30分）

11．（2020•连云港）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是﹣1℃，则这天的日温差是　　℃．

【答案】5

【解析】先用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上它的相反数”计算．4﹣（﹣1）＝4+1＝5．

12．（2020•哈尔滨）将数4790000用科学记数法表示为　     　．

【答案】4.79×106．

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

4790000＝4.79×106

13．（2020•黑龙江）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为　     　．

【答案】1.18×106．

【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

1180000＝1.18×106

14.计算：﹣2+（﹣3）=        ．

【答案】﹣5 

【解析】本题考查了有理数加法的应用，注意：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．（﹣2）+（﹣3）=﹣5

15.计算：﹣3×2+（﹣2）2﹣5=      ．

【答案】﹣7．

【解析】根据有理数混合运算的顺序进行计算即可

原式=﹣3×2+4﹣5=﹣6+4﹣5=﹣7．

16.纳米=10﹣9米，将0.00305纳米用科学记数法表示为       米．

【答案】3.05×10﹣12．

【解析】0.00305纳米=3.05×10﹣3×10﹣9=3.05×10﹣12米。

17. 比较大小：﹣2　　﹣3．

【答案】＞．

【解析】（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．

（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．

（3）两个正数中绝对值大的数大．

（4）两个负数中绝对值大的反而小．

在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．

18．绝对值是它本身的数是　       。

【答案】0和正数（非负数）

【解析】0的绝对值等于0；正数的绝对值等于这个正数；负数的绝对值等于这个负数的相反数。

19.如果|x＋８|＝５，那么x＝　　　　　　。

【答案】-3或-13

【解析】当x+8＞0时，|x＋８|=x+8=5，这时x=-3；

当x+8＜0时，|x＋８|=-（x+8）=5，这时x=-13；

当x+8=0时，|x＋８|=0，这时x=-8。（不合题意，舍去）

所以x=-3或-13。

20．观察下列各式：

13=12

13+23=32

13+23+33=62

13+23+33+43=102

…

猜想13+23+33+…+103=　  　．

【答案】552

【解析】13=12

13+23=32

13+23+33=62

13+23+33+43=102

…

通过观察，等式右端的幂指数都是2，底数都是等式左端幂的底数之和。

所以，13+23+33+…+103=的值应该具有的特征是：底数为1+2+3+…+10=55，指数为2.

猜想13+23+33+…+103=552．

三、解答题（7个小题，共60分）

21.（12分）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：（单位：米）+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10

（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？ 

（2）在练习过程中，守门员离开球门最远距离是多少米？ 

（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 

【答案】（1）回到（2）12米（3）54米

【解析】（1）+5+（-3）+（+10）+（-8）+（-6）+（+12）+（-10）=0

所以守门员最后回到了球门线的位置。

（2）从+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10这些数据分析观察知道，在练习过程中，守门员离开球门最远距离是12米。

（3）守门员全部练习结束后，他共跑了 

5+3+10+8+6+12+10=54米

22.（8分）求+……+2019－2020的值

【答案】-1010

【解析】1-2+3-4+5-6+……+2019-2020=-1×1010=-1010

23.（5分）观察等式：1＋3＝4＝2 2，1＋3＋5＝9＝3 2 ，1＋3＋5＋7＝16＝4 2 ，1＋3＋5＋7＋9＝25＝5 2 ，…… 

猜想：（1） 1＋3＋5＋7…＋99 ＝502；

(2)  1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝ _______.（结果用含n的式子表示，其中n =1,2,3,……）。

【答案】n2

【解析】从1开始，两个连续的奇数之和等于项数的平方。

因为 1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）一共有n项，

所以 1＋3＋5＋7＋…＋（2n-1）＝n2

24．（5分）计算：（π﹣3）0+（﹣1）2021

【答案】0

【解析】（π﹣3）0+（﹣1）2021

=1+（-1）=0

25.（8分）有如下的一些有理数：

－（一5.3 ）,，+31 , ,0 , , ,2021 , －1.39.

请指出属于(1)负有理数的有哪些？(2)属于整数的有哪些？ (3)属于分数的有哪些？(4)属于非负数的有哪些？

【答案】(1)负有理数有：， ，  －1.39；

(2)整数有：+31，  0，  ，   2021 ；

(3)分数有： －（一5.3 ），，  ， ，  －1.39；

(4)非负数有：－（一5.3 ），+31 ，，  0  ，，   2021。

【解析】（1）整数和分数统称有理数.

其中=-3.14， =-7，  －1.39是负有理数。

（2）正整数、0、负整数统称整数.

其中 +31，  0，  ，   2016 是整数。

（3）正分数、负分数统称分数。

其中－（一5.3 ），，  ， ，  －1.39是分数。

（4）0和正数为非负数。有：－（一5.3 ），+31 ，，  0  ，，   2016。

26.（10分）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数， m的绝对值是2，

求的值．

【答案】m=+2   原式=5；m=-2   原式=-11

【解析】a、b互为相反数，所以a+b=0，

c、d互为倒数，所以cd=1

m的绝对值是2，所以m=2或者 m=-2

当m=2时，

求=0+4m-3×1=4×2-3=5．

当m=-2时，

求=0+4m-3×1=4×（-2）-3=-11．

27.（12分）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-10    

B点对应的数为90。

（1）请写出AB的中点M对应的数。 

（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ 

（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2单位/秒的速度向右运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？

【答案】（1）40（2）30（3）13秒或27秒

【解析】（1）A、B的中点M对应的数为[（-10）+90]/2=40。 

（2）设相遇时间为t，则3t+2t=100，t=20，则C点与A点的距离为2t=40，从点对应的数时30.

（3）设经过时间为t，则3t+2t=100-35，t=13，

或者3t+2t=100+35，t=27，