初中数学中考复习 专题02 等腰三角形的存在性问题(解析版)

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专题二 等腰三角形的存在性问题
【考题研究】
近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么 ；③如图3，如果CA＝CB，那么 ．
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
【解题类型及其思路】
解题类型：
动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题
背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景
解题思路：
几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．
【典例指引】
类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】
典例指引1．
抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点．
（1）求抛物线解析式；
（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D的坐标；
（3）直线 (﹣3＜＜﹣1)与x轴相交于点H．与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形.
【解析】试题分析：（1）把B、C的坐标代入，解方程组即可得到结论；
（2）令y=0，求出A、B的坐标，设直线AD交y轴于点N，求出求直线AN的解析式， 与抛物线联立成方程组，解方程组，即可得到D的坐标；
（3）求出直线AM、AC的解析式，当x=t时，表示出HE，HF，HP，得到HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，由HE+EF﹣FP=＞0， 得到HE+EF＞FP，再由HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，得到当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．
试题解析：解：（1）∵抛物线经过点B、C，∴ ，解得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）令y=0，得： ，解得： ， ，∴A（﹣3，0），B（1，0），
设直线AD交y轴于点N，∵∠DAB=45°，∴△NAO是等腰直角三角形，N（0，3），
可求直线AN的解析式为y=x+3，
联立，解得： 或，∴D的坐标为（2，5）；
（3）M（﹣1，﹣4），
可求直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
∵当x=t时，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=﹣（）
∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，
∵HE+EF﹣FP=＞0，
∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形．
【名师点睛】
本题是二次函数的综合题，难度较大．解答第（2）问的关键是：利用∠DAB=45°，找出直线AN与y轴交点的坐标；解答第（3）问的关键是：用含t的代数式表示出HE，HF，HP，EF的长．
【举一反三】
（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时，点E坐标为（-，）．
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．
【详解】
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)，
∴
解得：.
∴所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3；
(2)∵抛物线解析式为：y=−x2−2x+3，
∴其对称轴为，
∴设P点坐标为(−1,a)，当x=0时，y=3，
∴C(0,3),M(−1,0)
∴当CP=PM时,(−1)2+(3−a)2=a2,解得a=，
∴P点坐标为：；
∴当CM=PM时,(−1)2+32=a2,解得，
∴P点坐标为：或；
∴当CM=CP时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6，
∴P点坐标为：P4 (−1,6).

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(−1,6)或；
(3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,−a2−2a+3)(−3