初中数学中考复习 专题02 代数式【考点巩固】（解析版）

专题02  代数式

考点1：代数式的概念与求值

1．（2021·四川自贡市·中考真题）已知，则代数式的值是（　　）

A．31 B． C．41 D．

【答案】B

【分析】

根据题意，可先求出x2-3x的值，再化简，然后整体代入所求代数式求值即可．

【详解】

解：∵，
∴，

∴．
故选：B．

2．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

【答案】D

【分析】

分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加即可．

【详解】

解：∵20立方米中，前17立方米单价为a元，后面3立方米单价为（a+1.2）元，

∴应缴水费为17a+3（a+1.2）=20a+3.6（元），

故选：D．

3．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．

【答案】．

【分析】

第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．

【详解】

解：∵，

，

，

…

∴第个等式为：

故答案是：．

4．（2021·浙江台州市·中考真题）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ）

A．20 B． C． D．

【答案】D

【分析】

先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解．

【详解】

解：混合之后糖的含量：，

故选：D．

5．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________．

【答案】

【分析】

根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．

【详解】

解：∵当n为奇数时，；

当n为偶数时，，

∴第n个式子是：．

故答案为：

考点2：整式相关概念

6．多项式　   　是一个关于x的三次四项式，它的次数最高项的系数是﹣5，二次项的系数是，一次项的系数是﹣2，常数项是4．

【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．

【解答】解：由题意可得，此多项式可以为：

﹣5x3x2﹣2x+4．

故答案为：﹣5x3x2﹣2x+4．

7．若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为　 　．

【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．

【解答】解：根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，

解得：m＝﹣1，n＝1，

则m+n＝﹣1+1＝0．

故答案为：0．

考点3：整式的运算

8．（2021·广西来宾市·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、整式的加减法则进行计算，即可求解．

【详解】

解：A. ，原选项计算正确，符合题意；

B. ，原选项计算错误，不合题意；

C. ，原选项计算错误，不合题意；

D. ，不是同类项，无法相减，原选项计算错误，不合题意．

故选：A

9．（2021·四川达州市·中考真题）已知，满足等式，则___________．

【答案】-3

【分析】

先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．

【详解】

解：由，变形得，

∴，

∴，

∴．

故答案为：-3

10．（2021·广东中考真题）若且，则_____．

【答案】

【分析】

根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．

【详解】

∵，

∴，

∵，

∴，

∴=，

∴==，

故答案为：

考点4：整式化简求值

11．（2021·吉林长春市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】

【分析】

首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a的值代入化简后的式子，即可解答本题．

【详解】

当时，

原式=．

12．（2021·贵州安顺市·中考真题）（1）有三个不等式，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：

（2）小红在计算时，解答过程如下：

第一步

第二步

第三步

小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．

【答案】（1）x＜-3；（2）第一步，正确过程见详解

【分析】

（1）先挑选两个不等式组成不等式组，然后分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可；

（2）根据完全平方公式、去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，即可．

【详解】

解：（1）挑选第一和第二个不等式，得，

由①得：x＜-2，

由②得：x＜-3，

∴不等式组的解为：x＜-3；

（2）小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：

．

故答案是：第一步

考点5：因式分解

13．（2021·四川成都市·中考真题）因式分解：__________．

【答案】

【详解】

解：=；

故答案为

14．（2021·云南中考真题）分解因式：=______．

【答案】x（x+2）（x﹣2）．

【详解】

试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．

故答案为x（x+2）（x﹣2）．

15．（2021·江苏盐城市·中考真题）分解因式：a2+2a+1＝_____．

【答案】（a+1）2

【分析】

直接利用完全平方公式分解.

【详解】

a2+2a+1＝（a+1）2．

故答案为.

考点6：分式有意义及分式为零的条件

16．（2021·浙江宁波市·中考真题）要使分式有意义，x的取值应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．

【详解】

解： 分式有意义，

故选：

考点7：分式性质

17．（2021·四川自贡市·中考真题）化简： _________．

【答案】

【分析】

利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解．

【详解】

解：

，

故答案为：．

考点8：分式化简与运算

18．（2021·四川南充市·中考真题）下列运算正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据分式的加减乘除的运算法则进行计算即可得出答案

【详解】

解：A. ，计算错误，不符合题意；

B. ，计算错误，不符合题意；

C. ，计算错误，不符合题意；

D. ，计算正确，符合题意；

故选：D

19．（2021·江苏盐城市·中考真题）先化简，再求值：，其中．

【答案】，3

【分析】

先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．

【详解】

解：原式

．

∵

∴原式．

20．（2021·山东威海市·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．

【答案】2（a-3），当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4．

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案．

【详解】

=

=

=

=

=2（a-3），

∵a≠3且a≠-1，

∴a=0，a=1，

当a=0时，原式=2×（0-3）=-6；

当a=1时，原式=2×（1-3）=-4．

21．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）先化简，再求值：

，其中x满足．

【答案】x（x+1）；6

【分析】

先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．

【详解】

解：∵

∴x=2或x=-1

∴

=

=
 

=

=x（x+1）

∵x=-1分式无意义，∴x=2

当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．

22．（2021·四川遂宁市·中考真题）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．

【答案】；

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值．

【详解】

解：

，

∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，

∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，

∵m为整数，

∴m=2、3、4，

又∵m≠0、2、3

∴m=4，

∴原式=．

23．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，

记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

，理由如下：

设，则．

．由对数的定义得

又

．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①___________；②_______，③________；

（2）求证：；

（3）拓展运用：计算．

【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2

【分析】

（1）直接根据定义计算即可；

（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；

（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．

【详解】

解：（1）①∵，∴5，

②∵，∴3，

③∵，∴0；

（2）设logaM=m，logaN=n，

∴，，

∴，

∴，

∴；

（3）

=

=

=2．

25．（2021·安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．

[观察思考]

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，

[规律总结]

（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加        块；

（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．

[问题解决]

（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块

【分析】

（1）由图观察即可；
（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．

【详解】

解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；
故答案为：；

（3）令    则

当时，

此时，剩下一块等腰直角三角形地砖

需要正方形地砖1008块．