初中数学中考复习 专题02 代数式【考点精讲】（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题02 代数式【考点精讲】（解析版），共22页。试卷主要包含了代数式，代数式的值，同类项，化简结果要最简.等内容，欢迎下载使用。

专题02 代数式


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知识精讲


考点1：代数式的概念与求值
1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。
求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。

【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品千克的售价为元，那么这种商品8千克的售价为（ ）
A．（元） B．（元） C．（元） D．（元）
【答案】A
【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；
【详解】
∵千克的售价为元，
∴1千克商品售价为，
∴8千克商品的售价为（元）；
故选A．
【例2】（2021·内蒙古中考真题）若，则代数式的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
【答案】C
【分析】先将代数式变形为，再代入即可求解．
【详解】
解：．
故选：C
【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
【答案】
【分析】根据已知可得出规律：第一项：，第二项：，第三项：…即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可知：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
…
则第项是；
故答案为：．
方法技巧


有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.

针对训练


1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【答案】B
【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．
【详解】
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．

【答案】2
【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．
【详解】
解：∵x=3＜4
∴把x=3代入，
解得：，
∴值为2，
故答案为：2．
3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)

【答案】2n2+2n
【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n个图案的规律为Sn=4n+2n×(n-1)，得出结论即可．
【详解】
解：观察图形可知：
第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数
第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数
第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数
第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数
…
由此发现规律是：
第n个图案由n2个小正方形组成，共用的木条根数
故答案为：2n2+2n．

考点2：整式相关概念
1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
3．整式：单项式与多项式统称整式.
4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.

【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式与是同类项，则______．
【答案】3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵单项式与是同类项，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
则m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决．
【详解】
解：∵一列单项式：，...，
∴第n个单项式为，
故选：A．
【例6】已知（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，求m2﹣2m+2＝　 　．
【答案】17
【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．
【详解】解：∵（m﹣3）x3y|m|+1是关于x，y的七次单项式，
∴3+|m|+1＝7且m﹣3≠0，
解得：m＝﹣3，
∴m2﹣2m+2＝9+6+2＝17．
故答案为：17．
方法技巧


1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的
次数
2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数
针对训练


1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
【详解】
∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，
∴是的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
故选B
2．关于多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2，下列说法正确的是（　　）
A．三次项系数为3 B．常数项是﹣2
C．多项式的项是5x4y，3x2y，4xy，﹣2 D．这个多项式是四次四项式
【答案】B
【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；
B、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；
C、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2的项为5x4y，﹣3x2y，4xy，﹣2，错误，故本选项不符合题意；
D、多项式5x4y﹣3x2y+4xy﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为　 　．
【答案】0
【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m、n的值，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得：m＝﹣1，3+n+5＝9，
解得：m＝﹣1，n＝1，
则m+n＝﹣1+1＝0．
故答案为：0．

考点3：整式的运算
1．幂的运算性质：
（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：am·an＝am＋n (m，n都是整数).
（2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(am)n＝amn (m，n都是整数).
（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab)n＝anbn (n为整数).
（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：am÷an＝am-n(a≠0，m,n都为整数).
（5）a0=1(a≠0), a-n= (a≠0).
2．整式的运算：
（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.
（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.
3．乘法公式：
（1）平方差公式:(a＋b)(a-b)＝a2-b2.
（2）完全平方公式:(a±b)2＝a2±2ab+b2.
（3）常用恒等变换:a2＋b2＝(a＋b)2-2ab=(a-b)2＋2ab；(a-b)2＝(a＋b)2-4ab.

【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】
解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．
【详解】
解：A：，故 A错误；
B：，故 B错误；
C：，故C错误；
D：．
故选：D
【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．
【详解】
解：A，与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B，与不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；
C，合并同类项后，故选项错误，不符合题意；
D，完全平方公式：，故选项正确，符合题意；
故选：D．
针对训练



1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】
解：原式．
故选B．
2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．
【详解】
解：选项A：与不是同类项，不能相加，故选项A错误；
选项B：，故选项B错误；
选项C：，故选项C错误；
选项D：，故选项D正确；
故选：D．
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】
A、，正确，故该选项符合题意；
B、,错误，故该选项不合题意；
C、，错误，故该选项不合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；
故选：A．
考点4：整式化简求值
【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【详解】
解：原式，
，
将代入得：原式．
针对训练

1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：原式=
=
=，
当x=-1时，原式==-22．
2．（2020•凉山州）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x=2．
【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．
【详解】原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12
＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
＝3x2﹣1，
当x=2时，
原式＝3×（2）2﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5．
考点5：因式分解
因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”)
（1）先运用提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）再套公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2(乘法公式的逆运算).
（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式因式分解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解：
故答案选：A．
【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【例13】（2020•成都）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为　 　．
【答案】49
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
【详解】∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2
＝72
＝49，
故答案为：49．
方法技巧

本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。解此类题的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法，即提取公因式法和公式法。
因式分解的一般步骤：

针对训练

1．（2020•宁波）分解因式：2a2﹣18＝　 　．
【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】2a2﹣18＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
2．（2020•温州）分解因式：m2﹣25＝　 　．
【分析】直接利用平方差进行分解即可．
【详解】原式＝（m﹣5）（m+5），
故答案为：（m﹣5）（m+5）．
3．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的定义解答．
【详解】
解：中不是整式，故A选项不符合题意；
是整式乘法计算，故B选项不符合题意；
是因式分解，故C选项符合题意；
不是分解为整式的乘积形式，故D选项不符合题意；
故选：C．

考点6：分式有意义及分式为零的条件
分式：形如 (A,B是整式，B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式，其有意义的条件是分母不为0，值为0的条件是分子为0，但分母不为0.

【例14】（2021·黑龙江绥化市·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
必须同时满足下列条件：
，，，
综上：且，
故选：C．
【例15】（2020•金华）分式x+5x−2的值是零，则x的值为（　　）
A．2 B．5 C．﹣2 D．﹣5
【答案】D
【分析】利用分式值为零的条件可得x+5＝0，且x﹣2≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x+5＝0，且x﹣2≠0，
解得：x＝﹣5，
故选：D．
方法技巧


条件
分式有意义
分式的分母不等于0. 
分式无意义
分式的分母等于0.
分式值为0
分子等于0 ；且分母不等于0. 
针对训练

1．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】
解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；
D、当x=-1时，，故不合题意；
故选C．
2．（2021·贵州铜仁市·中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是______________；
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求得
【详解】
要使分式有意义
则

故答案为：．

考点7：分式性质
1．分式的基本性质： (M是不为零的整式).
2．约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分.
3．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化成同分母的分式，这一过程叫做分式的通分.
3．最简公分母：一般取各分式分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母.
4．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式.

【例16】（2020•台州）计算1x−13x的结果是　　 ．
【分析】先通分，再相减即可求解．
【解析】1x−13x=33x−13x=23x．
故答案为：23x．
【例17】（2020•湖州）化简：x+1x2+2x+1= ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解析】x+1x2+2x+1
=x+1(x+1)2
=1x+1．
故答案为：1x+1．
方法技巧

分式约分的关键是确定分子和分母的公因式.
1．分子、分母均为单项式.
确定公因式的步骤

2．分子或分母是多项式时,需要先将多项式因式分解,再求公因式.

考点8：分式化简与运算
分式的运算法则：
（1）；
（2）；
（3）（n为整数）；
（4）；
（5）。

【例18】（2021·黑龙江大庆市·中考真题）已知，则分式与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】
解：，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【例19】（2021·山东济宁市·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算小括号里面的加减，后算乘除，即可求得结果．
【详解】
解：



．
故选：A．
【例20】（2021·四川广安市·中考真题）先化简：，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式=．
方法技巧

分式混合运算应注意的七点
1．注意分式混合运算的顺序.
2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.
3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.
4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.
5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.
6．化简结果要最简.
7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.
针对训练

1．（2021·河北中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【详解】
解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）当时，代数式的值是____．
【答案】
【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．
【详解】
解：由题意可知：
原式



，
当时，原式，
故答案为：．
3．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出a的值，再代入求解即可．
【详解】
解：原式

；
当时，
原式．