初中数学中考复习 专题03：平行线之和角平分线有关的图形-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）

专题03:第1章 平行线之和角平分线有关的图形

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，已知BM平分∠ABC，且BMAD，若∠ABC＝70°，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．70°

2．如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（　　）

A．45° B．67.5° C．112.5° D．135°

二、填空题

3．如图，PC∥OA，PD∥OB，∠AOB＝∠CPD，则∠AOB=________°．

4．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G， ∠1=50°，则∠2等于_________

三、解答题

5．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．

例：如图1中的三角形可记作“”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．

（1）如图1，的角平分线交于D，交于，

①请在图1中依题意补全图形；

②判断是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．

（2）如图2，是的角平分线，．判断是不是等角三角形，并说明理由．

（3）如图3，BM，CM分别是和的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．

6．已知直线，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．

（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB =36°，求∠MCD的度数；

（2）如图2，点G在CH上时，试说明：2∠MCD+∠GAB=90°．

7．如图，，点在点的右侧，，的平分线交于点（不与，点重合），．设．

（1）若点在点的左侧，求的度数（用含的代数式表示）

（2）将（1）中的线段沿方向平移，当点移动到点右侧时，请画出图形并判断的度数是否改变．若改变，请求出的度数（用含的代数式表示）；若不变，请说明理由．

8．AB∥CD，C在 D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点 E．∠ADC＝70°．

（1）求∠EDC 的度数；

（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；

（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．

9．如图，，分别平分，，且分别与，相交于点，.已知，，求的度数.

10．已知AB//CD，点E是平行线之间一点．

（测量发现）连结EA，EC，分别做∠EAB与ECD的角平分线交于点F，通过测量我们发现∠AEC=2∠AFC．

（探索新知）如图，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，试探索∠AFC与∠AEC之间的关系，请说明理由．

（合理猜想）若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，请猜想∠AFC与∠AEC之间的关系，不必说明理由．

参考答案

1．B

【解析】【分析】

先根据角平分线的性质，求出∠ABC的度数，再由平行线的性质得到∠A的度数．

【详解】

解：∵BM平分∠ABC，

∴∠MBA＝∠ABC＝35°．

∵BM∥AD，

∴∠A＝∠MBA＝35°．

故选：B．

【点评】

本题考查的是角平分线的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．

2．C

【解析】【分析】

先根据平角的定义求出∠BAD，根据角平分线的性质求出∠DAC，再利用平行线的性质，得到∠ACB的度数．最后通过平角求出∠ACE．

【详解】

解：∵∠FAD＝45°，

∴∠BAD＝180°-45°＝135°．

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝＝67.5°．

∵AD∥BE，

∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°．

∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°．

故选：C．

【点评】

本题考查平行的性质和角平分线的性质，解题关键是运用题目中的条件去求解角的度数，能够从角平分线和平行这两个条件想到图中存在等腰三角形．

3．60

【解析】【分析】

根据PC∥OA得∠AOB=∠PCB，再根据PD∥OB，得到∠DPC+∠PCB=180°，所以得到∠AOB+∠DPC=180°，再结合∠AOB＝∠CPD，即可求出∠AOB的度数．

【详解】

解：∵ PC∥OA

∴∠AOB=∠PCB

又∵ PD∥OB

∴∠DPC+∠PCB=180°

∴∠AOB+∠DPC=180°

又∠AOB＝∠CPD

∴∠CPD=2∠AOB

∴3∠AOB=180°

∴∠AOB=60°

故答案为：60．

【点评】

本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．

4．65°

【解析】【分析】

根据平行线和角平分线得到等腰三角形进行解题.

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠BEG=∠2，

又∵EG平分∠BEF，

∴∠BEF=2∠2；

又∵AB∥CD，

∴∠1+2∠2=180°，

∵∠1=50°，

∴∠2=65°.

故答案为65°.

5．（1）①见解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由见解析；（3）见解析

【解析】【分析】

（1）①根据题意画出图形即可；

②根据角平分线定义可得∠ABD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，进而可得∠EBD＝∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；

（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；

（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．

【详解】

解：（1）①补全图形如图4所示．

②△EBD是等角三角形．

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∵DE∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴△EBD是等角三角形；

（2）△ABC是等角三角形．

理由如下：如图5，∵AF∥BC，

∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，

∵AF是∠GAC的角平分线，

∴∠1＝∠2，

∴∠B＝∠C，

∴△ABC是等角三角形．

（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．

下面说明△GBM是等角三角形．

理由：∵GH∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵BM是∠ABC角平分线，

∴∠GBM＝∠2，

∴∠1＝∠GBM，

所以△GBM是等角三角形．

【点评】

此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

6．（1）63°；（2）见解析

【解析】【分析】

（1）依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
（2）结合（1）得ACD+∠CAH=180°，再依据角平分线的定义，即可得2∠MCD+∠GAB=90°．

【详解】

（1）∵AG⊥AC，∠GAB=36°，
∴∠CAH=90°-36°=54°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAH=180°，
∴∠ACD=126°，
∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=∠DCM=63°；
（2）∵∠ACH=∠DCM，
∴∠ACD=2∠MCD，
由（1）得ACD+∠CAH=180°，
∵AG⊥AC，
∴∠CAG=90°，
∴2∠MCD+90°+∠GAB=180°，
∴2∠MCD+∠GAB=90°．

【点评】

本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，利用两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．

7．（1）；（2）的度数改变，度数为

【解析】【分析】

（1）过点E作，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，求出∠BEF的度数，进而可求出∠ABC的度数；

（2）过点E作，根据角平分线定义得出，∠CDE=∠ADC=35°，根据平行线性质得出即可．

【详解】

（1）如图1，过点作．

∵，

∴，

∴，．

∵平分，平分，，

∴，．

∵，

∴，

∴．

（2）的度数改变．

画出的图形如图2，过点作．

∵平分，平分，，

∴，．

∵，

∴，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴．

【点评】

本题考查了平行线性质和角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．

8．（1）（2）（3）

【解析】【分析】

（1）根据角平分线定义即可得到答案；

（2）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解；

（3）过点作，然后根据角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差进行推导即可得解．

【详解】

解：（1）∵平分，

∴；

（2）过点作，如图：

∵平分，；平分，

∴，

∵，

∴

∴，

∴；

（3）过点作，如图：

∵平分，；平分，

∴，

∵，

∴

∴，

∴．

故答案是：（1）（2）（3）

【点评】

本题考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质以及角的和差，解答本题的关键是作出辅助线，要求同学们掌握平行线的性质，难度中等．

9．45°

【解析】【分析】

利用角平分线定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和为180°，得到∠1+∠B=∠3+∠C，∠2+∠C=∠4+∠D，由等式的性质得出∠C=（∠B+∠D）即可.

【详解】

解：∵AC，FC分别平分∠BAD，∠BFD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠B=∠3+∠C，∠4+∠D=∠2+∠C，

∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠C+∠2+∠C，

∴∠B+∠D=2∠C，

∴∠C=.

【点评】

本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键.

10．∠AFC=∠AEC，理由见解析；∠AFC=∠AEC

【解析】【分析】

探索新知：过点F作FHAB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD即可证明；

合理猜想：过点F作FHAB，先证∠BAE+∠DCE=∠AEC，再根据∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，即可证明.

【详解】

探索新知：过点F作FHAB，

∵ABCD，

∴FHCD，

∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，

∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，

∵∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，

∴∠FAB+∠FCD=∠AEC，

∴∠AFC=∠AEC；

合理猜想：过点F作FHAB，

∵ABCD，

∴FHCD，

∴∠AFH=∠FAB，∠CFH=∠FCD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，

∴∠BAE+∠DCE=∠AEC，

∵∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，

∴∠FAB+∠FCD=∠AEC，

∴∠AFC=∠AEC．

【点评】

本题是对平行线性质的考查，熟练掌握平行线的性质定理是解决本题的关键．