初中数学中考复习 专题06 三角形综合（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题06 三角形综合（解析版）
《2020中考数学考前重难点限时训练》专题06 三角形综合限时：45分钟一、选择题（本大题共7道小题）1. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B=30°，∠ADC=70°，则∠C的度数是 (　　)A.50° B.60° C.70° D.80°【答案】C　[解析]∵∠ADC=70°，∠B=30°，∴∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD=80°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°，故选C.2. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为(　　)A.12 B.14 C.24 D.21【答案】A　[解析]∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC=BD2+CD2=42+32=5.∵点E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC.又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=7+5=12.3. 在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则 (　　)A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°【答案】D　[解析]不妨设∠A=∠C-∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选D.4. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 (　　)A.0.5 B.1 C.1.5 D.2【答案】B　[解析]∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中，∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，DE=FE，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=3.∵AB=4，∴DB=AB-AD=4-3=1，故选B.5. 如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，再添加两个条件使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是 (　　)A.BC=EC，∠B=∠E B.BC=EC，AC=DCC.BC=EC，∠A=∠D D.∠B=∠E，∠A=∠D【答案】C　[解析]A选项，已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E，可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故不合题意;B选项，已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC，可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故不合题意;C选项，已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠A=∠D，不能证明△ABC≌△DEC，故符合题意;D选项，已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故不合题意.故选C.6. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是 (　　)A.45° B.60° C.75° D.85°【答案】C　[解析]如图，在直角三角形中，可得∠1+∠A=90°，∵∠A=45°，∴∠1=45°，∴∠2=45°.∵∠B=30°，∴∠α=∠2+∠B=75°，故选C.7. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为 (　　)A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c【答案】D　[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故选D.二、填空题（本大题共4道小题）8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为　　　　. 【答案】15°　[解析]∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE，∴∠BAD=150°，△ABC≌△ADE，AB=AD，∴△BAD是等腰三角形，∴∠B=∠ADB=12(180°-∠BAD)=15°.9. 如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为　　　　. 【答案】120°　[解析]如图，设AC，DB的交点为H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，CD=CA，∠DCB=∠ACE，CB=CE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，又∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.10. 定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=　　　　. 【答案】85或14　[解析]①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为:180°-80°2=50°，∴特征值k=80°50°=85;②当∠A为底角时，顶角的度数为:180°-80°-80°=20°，∴特征值k=20°80°=14.故答案为85或14.11. 在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　　　　. 【答案】23　[解析]如图，作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴AG=32AB=23，连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴12AB·DE+12AC·DF=12BC·AG，∵AB=AC=BC=4，∴DE+DF=AG=23.三、解答题（本大题共5道小题）12. 如图，已知:在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=12AB，点E，F分别是边BC，AC的中点.求证:DF=BE.【答案】证明:连接AE，∵点E，F分别是边BC，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，即EF∥AD且EF=12AB.又∵AD=12AB，∴AD=EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DF=AE.∵在Rt△ABC中，点E是BC的中点，∴AE=12BC=BE，∴BE=DF.13. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.【答案】证明:(1)如图，连接DE. ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE，∴DE=12AC=CE=AE.∵BD=CE，∴DE=BD.∴点D在线段BE的垂直平分线上.(2)∵BD=DE，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE.14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证:△ACD≌△BCE;(2)当AD=BF时，求∠BEF的度数.【答案】解:(1)证明:∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，∴△ACD≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°.又AD=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE=180°-45°2=67.5°.15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，在AD的上方作等腰直角三角形ADF.(1)如图①，当点D在线段BC上时(不与点B重合)，求证:△ACF≌△ABD;(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，猜想CF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由.【答案】解:(1)证明:∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS).(2)CF=BD且CF⊥BD，理由如下:∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD.在△ACF和△ABD中，AC=AB，∠CAF=∠BAD，AF=AD，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD.∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠ABD+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD.16. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系为　　　　; (2)问题探究:如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.①②【答案】解:(1)AD=AB+DC[解析]延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F.∵E是BC的中点，∴CE=BE.在△AEB和△FEC中，∠BAF=∠F，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB.故答案为:AD=AB+DC.(2)AB=AF+CF.证明:如图，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G.在△AEB和△GEC中，∠BAE=∠G，∠AEB=∠GEC，BE=CE，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF.