初中数学中考复习 专题06 二次函数的图象性质及应用（解析版）

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专题06   二次函数的图象性质及应用一  选择题（唐山市遵化市一模）如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和，下列结论：
，，，，当时，．
其中正确结论的个数是A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【解析】有图象可知，
，，则，故正确；
图象与x轴两个交点，则，故正确；
图象过点，则，故错误；
图象过点，则，故正确；
由图象可知，当时，一部分函数值大于0，有一个函数值等于0，还有一分部小于0，故错误；
由上可得，正确的结论是，有3个；
故选：B．2.（合肥168中一模）已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：
；；；；，
错误的个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【解析】：由函数图象开口向下可知，，由函数的对称轴，故，，，所以，正确； 
，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则，故；正确；
当时，，正确；
当时，，错误；
当时，，错误；
故错误的有2个．
故选：B．3.（宿州市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是（　　）A．B． C．D．【解析】设BP＝x，CQ＝y，则AP2＝42+x2，PQ2＝（6﹣x）2+y2，AQ2＝（4﹣y）2+62；∵△APQ为直角三角形，∴AP2+PQ2＝AQ2，即42+x2+（6﹣x）2+y2＝（4﹣y）2+62，化简得：y＝整理得：y＝根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应．故选：D．
4.（淮北市名校联考一模）如图，在中，，，，直线l经过点A，且垂直于AB，分别与AB、AC相交于点M，直线l从点A出发，沿AB方向以的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，若运动过程中的面积是，直线l的运动时间是则y与x之间函数关系的图象大致是A. B. C. D. 【解析】过点C作于D，
，
故为直角三角形，
，则，，
故CD，同理，
当，如图1，
                         
，即，
，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
当时，如图2，
                           
同理：，
，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为，
故选：B．二  填空题5.（江西省初中名校联盟一模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为______．【解析】
，
将二次函数的图象先向左平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为：，
再向下平移2个单位，
得到的抛物线的解析式为：．
故答案为：．6.（南通市崇川区一模）抛物线的对称轴为直线，且经过点若关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则t的取值范围是______．【解析】抛物线的对称轴为直线，且经过点．
，得
即抛物线解析式为，
当时，，
即，
关于x的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，
有实数根，
，
当时，时，y有最小值，当时，y取得最大值5，
的取值范围是，
故答案为：．7.（合肥168中一模）如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点点B在第一象限抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为______．
【解析】令，则，
点，，
抛物线的对称轴为，直线OB的解析式为，
抛物线的顶点C在直线OB上，
顶点C的纵坐标为，即，
解得，，
由图可知，，
，
，
对称轴为直线，
点D的坐标为，
设平移后的抛物线的解析式为，
则，
解得，所以，．
故答案为：．三 简答题8.（淮北市名校联考一模）我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”例如抛物线和都是“数轴函数”．
抛物线和抛物线是“数轴函数”吗？请说明理由；
若抛物线是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．【解析】抛物线是“数轴函数”，抛物线不是“数轴函数”；
理由：，
抛物线顶点坐标为，在x轴上，
，
抛物线的顶点坐标为，在第四象限，
抛物线不是“数轴函数”；
抛物线，
顶点坐标为，
由于抛物线是“数轴函数”，分两种情况：
当顶点在x轴上时，，解得，
抛物线表达式为或；
当顶点在y轴上时，，解得，抛物线表达式为，
综上，抛物线表达式为或或．9.（南通市崇川区一模）某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
型号
金额Ⅰ型设备Ⅱ型设备投资金额万元x5x24补贴金额万元24分别求和的函数解析式；
有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？【解析】设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：，购买Ⅱ型设备补贴的金额的解析式为，
由题意，得：，或，
解得：，，
的解析式为：，的函数解析式为：
设投资Ⅱ型设备a万元，Ⅰ型设备万元，补贴金额为W万元：
所以
所以当或4时，W的最大值，所以投资Ⅰ型设备7万元，Ⅱ型设备3万元；或投资Ⅰ型设备6万元，Ⅱ型设备4万元，获得最大补贴金额，最大补贴金额为万元．10.（江西省初中名校联盟一模）已知二次函数的图象与y轴相交于点与x的部分对应值如下表为整数：x0m2y直接写出m的值和点A的坐标．
求出二次函数的关系式．
过点A作直线轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象只有一个公共点P是且时，求n的取值范围．
【解析】根据抛物线的轴对称性可知：，
由表格知，图象过
图象与y轴相交于A点，
；
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的关系式为：，
抛物线y轴相交于，
，
解得，，
二次函数的关系式为：，即；
新图象如图所示，

当与交于点时，，
当与交于，时，
，
解得，交点在y轴右边，舍去，或，
与新图象交于，则，
，
当直线与新图象只有一个公共点P是且时，；
当与只有一个交点时，则
，即，
，
，
当直线与新图象只有一个公共点时，
综上，n的取值范围为：或．11.（合肥市天鹅湖教育集团一模）某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM（AN＝3m，AM＝10m，∠MAN＝45°），用8m长的渔网搭建了一个养殖水域（即四边形ABCD），圩梗边不需要渔网，AB∥CD，∠C＝90°．设BC＝xm，四边形ABCD面积为S（m2）．（1）求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；（2）x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？【解析】（1）过D作DE⊥AB于E，∵BC＝xm，∴DE＝xm，∵∠A＝45°，∴AE＝xm，∴S＝S△AED+S矩形DEBC＝x2+（8﹣x）•x＝﹣x2+8x，∵AB＝AE+EB＝x+（8﹣x）＝8m，∴B点为定点，∴DE最大为3m，∴0＜x≤3；（2）∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣8）2+32，∴当x＜8时，S随x的增大而增大，∵0＜x≤3，∴当x＝3时，S取得最大值，S最大＝﹣×（3﹣8）2+32＝，答：当x＝3m时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是．12．（芜湖市一模）（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将点A（4，0）、B（1，0）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣2；存在．如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．过D作y轴的平行线交AC于E．设直线AC的解析式为：y＝mx+n，则 ，解得：，由题意可求得直线AC的解析式为y＝x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．∴S△DCA＝S△CDE+S△ADE＝×DE×OA＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．∴当t＝2时，S最大＝4．∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．13．（宿州市一模）（14分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．【解析】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴OF＝1，EF＝4，OC＝3，过C作CH⊥EF于H点，则CH＝EH＝1，当M在EF左侧时，∵∠MNC＝90°，则△MNF∽△NCH，∴，设FN＝n，则NH＝3﹣n，∴，即n2﹣3n﹣m+1＝0，关于n的方程有解，△＝（﹣3）2﹣4（﹣m+1）≥0，得m≥且m≠1；当M与F重合时，m＝1；当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH＝EH＝1，∠CEH＝45°，即∠CEF＝45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM＝45°，∵FM＝EF＝4，∴OM＝5，即N为点E时，OM＝5，∴m≤5，     综上，m的变化范围为：﹣≤m≤5．14.（合肥168中一模）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数张与售票时间小时的正比例函数关系满足图中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数张与售票时间小时的函数关系满足图中的图象．

图中图象的前半段含端点是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为______，其中自变量x的取值范围是______；
若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？
上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图中图象的后半段一次函数的表达式．【解析】设函数的解析式为，
把点代入解析式得：，
则函数解析式为：；
设需要开放x个普通售票窗口，
由题意得，，
解得：，
为整数且x取最小值，
，
即至少需要开放15个普通售票窗口；
设普通售票的函数解析式为，
把点代入得：，
则，
点是，
当时，，
即上午10点普通窗口售票为160张，
由得，当时，，
图中的一次函数过点，，
设一次函数的解析式为：，
把点的坐标代入得：，
解得：，
则一次函数的解析式为．15.（唐山市遵化市一模）如图，直线OA与反比例函数的图象交于点，向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点与y轴交于点C，
求直线BC的解析式；
求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


  【解析】由直线OA与反比例函数的图象交于点，
得直线OA为：，双曲线为：，
点代入得，点，分
设直线BC的解析式为，由直线BC经过点B，
将，，代入得：，分
所以，直线BC的解析式为；分
由直线得点，
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为
将A、B两点的坐标代入，得：
，分
解得分
所以，抛物线的解析式为；分
存在．
把配方得，
所以得点，对称轴为直线分
得对称轴与x轴交点的坐标为分
由，，，得，所以，分
又，若以O、E、P为顶点的三角形与相似，则有：
，即，得，有，
，即，得，有，分
所以，点P的坐标为，，，．16.（无锡市四校联考）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元件，每天销售件与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示．

求y与x之间的函数关系式；
如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．【解析】设，
直线经过点，，
，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：，
由题意，得
，
解得，     ，
设利润为，
，
，
时，w随x的增大而增大，
时，，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
，
，
，
，，
如图所示，由图象得：
当时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．17.（无锡市四校联考）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．
求二次函数的关系式及点C的坐标；
如图，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值；
如图，若点M在抛物线的对称轴上，且，求出所有满足条件的点M的坐标．
 
【解析】令，解得，则．
令，得，则；
二次函数的图象经过A、B两点，
，解得
二次函数的关系式为；
当时，，解得，，则；
如图2，轴，轴，
，．
∽．
，
．
设，则．
；
，
当时，有最大值6；
当点M在直线AB上方时，则点M在的外接圆上，如图1．
的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，
，
，解得．
圆心的坐标为．
，
即的半径半径为此时M点坐标为；
当点M在在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图2．
，
．
轴，
．
，在x轴上，
点的坐标为 ．
，
此时点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为或