初中数学中考复习 专题07 三角形综合（解析版）

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专题07  三角形综合一 填空题（合肥168中一模）如图，，若，则的度数是A.    B.     C.     D.
【解析】：，，
．
故选：C．2.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝48°，则∠2的度数是（　　）A. 64° B. 65   ° C. 66° D. 67°【解析】∵AB∥CD，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣48°＝132°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝132°÷2＝66°，∴∠2＝∠BEG＝66°．故选C．
3. (唐山市遵化市一模)如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为A.  B.  C.  D. 【解析】解：直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故选：C．4.（合肥168中一模）如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰的三个顶点分别在这三条平行直线上，若，则的值是
A.  B.  C.  D. 【解析】解：如图，过点A作于D，过点B作于E，设，，间的距离为1，
，
，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
在等腰直角中，，
．
故选：D．
5..（芜湖市一模）△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则∠B＝（　　）A．36° B．45° C．60° D．90°【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，故选：C．6.(唐山市遵化市一模)如图，在中，，AD是高，AM是外角的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则的形状是A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角【解析】：根据画图过程可知：
DF平分，
，
，
，
是外角的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
是高，
，
，
的形状是等腰直角三角形．
故选：D．7.(江西省初中名校联盟一模)如图，在中，，将绕点C逆时针旋转角到的位置，这时点B恰好落在边DE的中点，则旋转角的度数为
A.  B.  C.  D. 【解析】：，B为DE的中点，
，
将绕点C逆时针旋转角到的位置，
，
，
为等边三角形，
，
，
故选：A．8.（广东省北江实验学校一模）.如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（   ）  A.2∶3   B.3∶4         C.9∶16       D.1∶2  【解析】.DE∥BC， ∴△DOE∽△COB，  ∴ ， ∴DE：BC=3：4， 故答案为：B.9.(无锡市四席联考一模)如图，在中，，，，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将沿DP所在的直线翻折后，点B落在处，若，则点P与点B之间的距离为A. 1          B.        C. 1或 3        D. 或5
  【解析】：如图，若点在BC左侧，

，，，
，
点D是AB的中点，
，
，
，
，
，，
折叠
，
在中，，
，
，
如图，若点在BC右侧，

，
在中，，
，
故答案为：或5．
故选：D．二  填空题10.（广东省北江实验学校一模）.如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=________°.  【解析】如图， ∵m∥n，∠1=110°，∴∠4=70°.∵∠2=100°，∴∠5=80°，∴∠3=∠4+∠5=70°+80°=150°.故答案为：150.
11.(江西省初中名校联盟一模)如图，若，，则______．
【解析】：，，
，
，
，
解得：，
故答案为：6．12（芜湖市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点D是边AC上的一点，∠ABD＝45°，CD＝1，则AD的长为　   　．                       【解析】：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝1，∴BD＝＝＝，在Rt△BDE中，∠ABD＝45°，∴BE＝DE＝BD＝，∵∠EAD＝∠CAB，∠AED＝∠C＝90°，∴△AED∽△ACB，∴＝设AD＝x，AE＝y，∴＝，∴y＝（x+1），在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2∴（y+）2＝（x+1）2+9，∴（x+）2＝（x+1）2+9，整理得2x2﹣11x+5＝0，解得x＝5或x＝（舍去），∴AD＝5，故答案为5．13.（宿州市一模）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝　   　．                                      【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，                     ∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．三  解答题14.(江西省初中名校联盟一模)如图，和都是等腰直角三角形，的斜边BD落在的斜边BC上，直角边BE落在边AB上．
当时，求BD的长．
如图，将绕点B逆时针旋转，使BD恰好平分，DE交于点F，延长ED交BC于点M．
当时，求EM长．
写出FM与BE的数量关系，并说明理由．
 
是等腰直角三角形，
，
，
．
，都是等腰直角三角形，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
，理由如下：
，，
∽，
，
．
设，则，
，
，
．15.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在中，AB<AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且与四边形ABDE的周长相等，设AC=b，AB=c．（1）求线段CE的长度；（2）求证：DF=EF；（3）若，求的值．【解析】（1）∵与四边形ABDE的周长相等，点D为BC的中点，∴AE+AB=CE，∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c，∴CE==；（2）∵点D、F分别为BC、AC的中点，∵DF是△CAB的中位线，∴DF=AB=c，AF=CF=AC=b，∵CE=，∴EF=CE-CF=−b =c，∴DF=EF；（3）连接BE、DG，设BG，DF交于点M，∵S△BDH=S△EGH，∴S△BDG=S△DEG，∴BE∥DG，∴∠EBC=∠GDC，∵DF是△CAB的中位线，∴DF∥AB，∴∠ABC=∠FDC，∠A=∠DFC，∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC，即：∠ABE=∠FDG，∴△ABE∽△FDG，∴，∵AE=AC-CE=b-=(b−c)∴FG=AE=×(b−c)=(b−c)，∵DF=EF，∴∠FED=∠FDE，∵BG⊥DE，∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，∴∠EGH=∠DMH，又∵∠DMH=∠FMG，∴∠EGH=∠FMG，又∵∠FMG=∠ABG，∴∠EGH=∠ABG，∴AB=AG=c，∴CG=b−c，∴CF=b=FG+CG=(b−c)+(b−c)，∴3b=5c，∴=．16.（合肥168中一模）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
线段DB和DG的数量关系是______；
写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．
当四边形ABCD为菱形，，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若，，直接写出线段GM的长度．
 
【解析】；
，理由如下：
由知：，，，
≌，
，
，
中，，
，
，
即；
如图2，，
理由如下：在菱形ABCD中，，
由旋转得，，
在中，，
，
，
≌，
，
，
过点D作于点M，如图2，

，
，
在中，，
．
设，则，
，
，
，
，
；
过点A作于N，如图3，

中，，，
，，
，
，
，
，
，
由同理得：，
，
．17.（淮北市名校联考一模）如图1，在中，，，AP、BP分别平分、，过点P作交AC于点D，交BC于点E．
求证：点P是线段DE的中点；
求证：．
如图2，在中，，，，BP平分，过点P作交AC于点D，交BC于点E，若点P为线段DE的中点，求AD的长度．
 
【解析】证明：平分，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
，
点P是DE的中点．
证明：由得，
平分，
，
，
，
，
∽，
，
．
过点P作交BC于F，交AB于G．
在中，，
，
，
，
四边形AGPD是平行四边形，
，
，，
，
，
由可知，设，则，，
，
，
，
，，则，
，
在中，，
解得，      ．18.（南通市崇川区启秀中学一模）如图1，已知中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：，．
利用第题的结论，解决下列问题：
如图2，在四边形ABCD中，，E、F分别是AB、CD的中点，
求证：，
如图3，在四边形ABCD中，，，，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．
 
【解析】证明：如图1中，延长DE到点F，使得，连接CF，

在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
四边形BCFD是平行四边形，
，
，
．

证明：如图2中，连接AF并延长，交BC延长线于点M．

，
，
是CD中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
是的中位线，
，．

解：连接DM．

点E，F分别为MN，DN的中点，
由知，
最大时，EF最大，
与B重合时DM最大，
此时，
的最大值为3．19.(江西省初中名校联盟一模)方法导引：
问题：
如图1，等边三角形ABC的边长为6，点O是和的角平分线交点，，绕点O任意旋转，分别交的两边于D，E两点求四边形ODBE的面积．
讨论：
小明：在旋转过程中，当OF经过点B时，OG一定经过点C．
小颖：小明的分析有道理，这样，我们就可以利用“ASA”证出≌．
小飞：因为≌，所以只要算出的面积就得出了四边形ODBE的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确，在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE的面积：______．
应用方法：
特例：如图2，的顶点O在等边三角形ABC的边BC上，，，边于点E，于点D，求面积．
探究：如图3，已知，顶点O在等边三角形ABC的边BC上，，，记的面积为x，的面积为y，求xy的值．
应用：如图4，已知，顶点O在等边三角形ABC的边CB的延长线上，，，记的面积为a，的面积为b，请直接写出a与b的关系式．
 
【解析】：方法引导：
如图1，连接OB，OC，

是等边三角形，
，
点O是和的角平分线交点，
，
，，
，且，，
≌
，
四边形ODBE的面积，
等边三角形ABC的边长为6，
，
四边形ODBE的面积，
故答案为：；
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
的面积；
过点O作于M，于N，

由得：，同理：，
是等边三角形，，
，且，
，且，
∽，，
，
；
，
理由如下：过点O作，交AB的延长线于M，于N，

，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．