初中数学中考复习 专题07 整体思想-【口袋书】2020年中考数学背诵手册

中考数学常见思想方法

专题07 整体思想

专题概述：

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

名词诠释：

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

运用举例：

一．整体思想在代数式求值中的运用

1．已知x2+5x﹣998＝0，试求代数式x3+6x2﹣993x+1017的值．

【点睛】首先由x2+5x﹣998＝0，得出x2+5x＝998，进一步分组整理代数式x3+6x2﹣993x+1017求得数值即可．

【详解】解：∵x2+5x﹣998＝0，

∴x2+5x＝998，

原式＝x（x2+5x）+x2﹣993x+1017

＝998x+x2﹣993x+1017

＝x2+5x+1017

＝998+1017

＝2015．

2．已知：a﹣b＝b﹣c＝1，a2+b2+c2＝2，则ab+bc+ac的值等于　﹣1　．

【点睛】由已知得出a﹣c＝2，求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝3，即可得出所求的值．

【详解】解：∵a﹣b＝b﹣c＝1，

∴a﹣c＝2，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝3，

∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣3＝2﹣3＝﹣1；

故答案为：﹣1．

3．已知，则　　．

【点睛】先根据已知条件可得x+y＝5xy，再把x+y的值整体代入计算即可．

【详解】解：∵，

∴x+y＝5xy，

∴原式，

故答案是．

二．整体思想在因式分解中的运用

1．（1）分解因式：a2﹣2a（b+c）+（b+c）2

（2）计算：3（x﹣1）（x+2）﹣（2x+1）2+（x+1）（x﹣1）

（3）4（a﹣2b）2﹣9（2a+b）2．

【点睛】（1）利用完全平方公式求解即可．

（2）利用整式的混合运算顺序求解即可．

（3）原式利用平方差公式分解即可．

【详解】解：（1）分解因式：a2﹣2a（b+c）+（b+c）2＝[a﹣（b+c）]2＝（a﹣b﹣c）2．

（2）计算：3（x﹣1）（x+2）﹣（2x+1）2+（x+1）（x﹣1）

＝3（x2+x﹣2）﹣（4x2+4x+1）+（x2+1），

＝3x2+3x﹣6﹣4x2﹣4x﹣1+x2+1，

＝﹣x﹣8．

（3）原式＝[2（a﹣2b）+3（2a+b）][2（a﹣2b）﹣3（2a+b）]＝﹣（4a+7b）（8a﹣b）．

2．设a，b，c是一个三角形的三边长，试判断：a2﹣b2﹣c2﹣2bc的值的正负，并说明理由．

【点睛】先分组，再利用公式法分解得到a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝（a+b+c）（a﹣b﹣c），然后根据三角形三边的关系确定积的符号即可．

【详解】解：代数式的值为负数．理由如下：

a2﹣b2﹣c2﹣2bc＝a2﹣（b2+c2+2bc）

＝a2﹣（b+c）2

＝（a+b+c）（a﹣b﹣c），

∵a，b，c是一个三角形的三边长，

∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，

∴a2﹣b2﹣c2﹣2bc＜0．

三．整体思想在方程（组）中的运用

1．解方程组．

【点睛】设x﹣3＝u，y＝v，方程组变形后求出u与v的值，即可确定出x与y的值．

【详解】解：设x﹣3＝u，y＝v，方程组变形得：，

②×2﹣①得：41u＝41，即u＝1，

把u＝1代入①得：v＝1，

∴，

解得：．

2．解方程组：．

【点睛】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．

【详解】解：方程组整理得：，

①﹣②×5得：36y＝36，即y＝1，

把y＝1代入②得：x＝2．

则方程组的解为．

3．已知a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求a2﹣2017a的值．

【点睛】利用一元二次方程的解的定义得到a2＝2018a﹣1，则a2﹣2017a可变形为a﹣1，通分得到原式1，然后把a2＝2018a﹣1代入计算即可．

【详解】解：∵a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，

∴a2﹣2018a+1＝0，

∴a2＝2018a﹣1，

∴a2﹣2017a2018a﹣1﹣2017a

＝a﹣1

1

1

＝2018﹣1

＝2017．

四．整体思想在几何中的运用

1．一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15

【点睛】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．

【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．

∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，

∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．

∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．

∴GC＝BC＝3，DH＝DE＝2．

∴GH＝3+3+2＝8，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣4﹣2＝2．

∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．

故选：D．

2．如图，依次以三角形，四边形…n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交，把三角形与各圆重叠部分（阴影部分）面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分记为S4…n边形与各圆重叠部分记为Sn，则s4＝　π　  S90＝　44π　 （结果保留π）

【点睛】根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：S进行计算即可．

【详解】解：S3π；

S4π；

…

S9044π．

故答案为：π，44π．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为　π﹣4　（结果保留π）．

【点睛】图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．

【详解】解：

设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积π×4π×1﹣4×2÷2π﹣4．

4．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 （　　）

A．4 B． C． D．2

【点睛】设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．

【详解】解：设正方形CEFH的边长为a，根据题意得：

S△BDF＝4+a24a（a﹣2）a（a+2）

＝2+a2a2+aa2﹣a

＝2．

故选：D．